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Determinar la forma cerrada de una relación recursiva particular inhomogénea

En mi investigación he llegado al punto en el que me gustaría conocer la expresión para $a_n$ que satisface \begin{equation} a_n=2a_{n+1}-a_{n+2}+4, \hspace{4mm}a_1=3, \hspace{2mm}a_2=9 \end{equation}

Déjame decirte de dónde viene esto. Tengo esta secuencia de números: \begin{equation} 3,9,19,33,51,... \end{equation} Puedes ver que la diferencia entre dos números es igual a la diferencia entre los dos números anteriores, aumentada en 4, por ejemplo, $9-3=6$, $19-9=10=6+4$, ... Por lo tanto, puedo escribir \begin{equation} a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_{n}+4 \end{equation} de donde se deduce la ecuación anterior.

Soy consciente del procedimiento general para resolver estas ecuaciones recursivas. Comencé buscando una solución de la ecuación homogénea, estableciendo $a_n=Ac^n$. Esto da la ecuación $c^2-2c+1=0$, resuelta por $c=1$. Luego busqué una solución particular, digamos $a_n=b$. Sin embargo, esto da $b=2b-b+4$, de donde $4=0$. Claramente este método no funciona aquí.

¿Tienes alguna idea de cómo encontrar $a_n$? ¿Esta ecuación incluso tiene una solución cerrada?

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¿Estás seguro de que quieres definir $a_n$ en función de elementos superiores, por ejemplo, $a_{n+1}$ y $a_{n+2}$?

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Actualicé mi respuesta y expliqué de dónde proviene la ecuación. Pero ¿hace una gran diferencia definirla en términos de elementos superiores en lugar de elementos inferiores?

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Sí lo hace. Supongamos que solo querías el valor de $a_9$. Vas a tu fórmula y ves que necesitas $a_{11}$. ¿Cómo encontrarías eso?

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Matthew Scouten Puntos 2518

$c=1$ es una raíz doble de tu ecuación característica $c^2-2c+1=0$, por lo que no solo da una, sino dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea: $a_n = 1$ y $a_n = n$. Dado que los polinomios de grado $0$ y $1$ son solución de la ecuación homogénea, tu solución particular debe ser de la forma $a_n = b n^2$.

Deberías terminar con $a_n = 2 n^2 + 1$.

Por cierto, también podrías intentar buscar tu secuencia en la OEIS.

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G Cab Puntos 51

Tenga en cuenta que $$ \eqalign{ & a_{\,n + 2} - 2a_{\,n + 1} + a_{\,n} = \Delta ^{\,2} a_{\,n} = 4\quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad a_{\,n} = {4 \over {2!}}n^{\,\underline {\,2\,} } + c_{\,1} n^{\,\underline {\,1\,} } + c_{\,0} n^{\,\underline {\,0\,} } = \cr & = 2n\left( {n - 1} \right) + c_{\,1} n + c_{\,0} \cr} $$ donde $n^{\,\underline {\,m\,} }$ indica el Factorial Descendente.

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