En mi investigación he llegado al punto en el que me gustaría conocer la expresión para $a_n$ que satisface \begin{equation} a_n=2a_{n+1}-a_{n+2}+4, \hspace{4mm}a_1=3, \hspace{2mm}a_2=9 \end{equation}
Déjame decirte de dónde viene esto. Tengo esta secuencia de números: \begin{equation} 3,9,19,33,51,... \end{equation} Puedes ver que la diferencia entre dos números es igual a la diferencia entre los dos números anteriores, aumentada en 4, por ejemplo, $9-3=6$, $19-9=10=6+4$, ... Por lo tanto, puedo escribir \begin{equation} a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_{n}+4 \end{equation} de donde se deduce la ecuación anterior.
Soy consciente del procedimiento general para resolver estas ecuaciones recursivas. Comencé buscando una solución de la ecuación homogénea, estableciendo $a_n=Ac^n$. Esto da la ecuación $c^2-2c+1=0$, resuelta por $c=1$. Luego busqué una solución particular, digamos $a_n=b$. Sin embargo, esto da $b=2b-b+4$, de donde $4=0$. Claramente este método no funciona aquí.
¿Tienes alguna idea de cómo encontrar $a_n$? ¿Esta ecuación incluso tiene una solución cerrada?
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¿Estás seguro de que quieres definir $a_n$ en función de elementos superiores, por ejemplo, $a_{n+1}$ y $a_{n+2}$?
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Actualicé mi respuesta y expliqué de dónde proviene la ecuación. Pero ¿hace una gran diferencia definirla en términos de elementos superiores en lugar de elementos inferiores?
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Sí lo hace. Supongamos que solo querías el valor de $a_9$. Vas a tu fórmula y ves que necesitas $a_{11}$. ¿Cómo encontrarías eso?