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¿Existe alguna relación entre la función generadora de Legendre y las armónicas esféricas para un potencial?

Recientemente tuve que resolver un problema simple en el que tenía una esfera de radio $R$ con un potencial constante (pero con signo diferente) en ambas hemisferios, y me pidieron obtener el potencial electrostático para cada punto en el espacio. Y tuve que hacerlo con ambas hemisferios a lo largo del eje $z$, y luego resolver el mismo problema pero con los hemisferios a lo largo del eje $y$. Así que resolví ambos problemas, primero con el potencial con la función generadora de Legendre y simetría azimutal, y el segundo con la expresión del potencial con armónicos esféricos. ¿Pero la última pregunta fue encontrar la matriz de rotación para mostrar que ambas soluciones son iguales? Y esto es lo que no entiendo, ¿hay alguna relación entre la función generadora de Legendre y los Armónicos Esféricos para rotaciones?


Primera solución del potencial, tomando la solución general con simetría azimutal: $$ \phi (r,\theta)=\sum^{\infty}_{l=0}\left(A_{l}r^{l}+\dfrac{B_{l}}{r^{l+1}}\right)P_{l}(\cos\theta)$$ con condiciones de frontera: $$ a)\phi(R,\theta)=\phi_{o};\text{ si }\theta \in [0,\pi /2) \\ \phi(R,\theta)=-\phi_{o};\text{ si } \theta \in [\pi /2, \pi]\\ b)r\rightarrow \infty; \phi(r)=0\\ c)r=0; \phi(r);\text{ finito } $$ obteniendo el potencial para dentro y fuera de la esfera. $$ \phi (r,\theta)_{dentro}=\sum^{\infty}_{l=0}(A_{l}r^{l})P_{l}(\cos\theta)\\ \Rightarrow A_{l}=\phi_{0}\left[\int_{0}^{1}P_{l}(x)dx\right]\left(\dfrac{2l+1}{R^{l}}\right); \forall l=1,3,5,... \\\phi (r,\theta)_{fuera}=\sum^{\infty}_{l=0}\dfrac{B_{l}}{r^{l+1}}P_{l}(\cos\theta)\\ \Rightarrow B_{l}=\phi_{0}[\int_{0}^{1}P_{l}(x)dx](2l+1)R^{l+1}; \forall l=1,3,5,...$$


Luego la segunda solución, con la esfera rotada 90 grados alrededor del plano $YZ$; $$ \phi (r,\theta,\varphi)=\sum^{\infty}_{l=0}\sum^{l}_{m=-l}(A_{l,m}r^{l}+\dfrac{B_{l,m}}{r^{l+1}})Y_{l,m}(\theta,\varphi)$$ con condiciones de frontera: $$ a)\phi(R,\theta)=\phi_{o}; si \varphi \in [0,\pi)\\ \phi(R,\theta)=-\phi_{o}; si \varphi \in [\pi, 2\pi]\\ b)r\rightarrow \infty; \phi(r)=0\\ c)r=0; \phi(r);finito $$ obteniendo el potencial para dentro y fuera de la esfera. $$ \phi (r,\theta,\varphi)_{dentro}=\sum^{\infty}_{l=0}\sum^{l}_{m=-l}(A_{l,m}r^{l})Y_{l,m}(\theta,\varphi)\\ \Rightarrow A_{l,m}=R^{-l}\dfrac{4\phi_{o}}{im}\sqrt{\dfrac{2l+1}{4\pi}\dfrac{(l-m)!}{(l+m)!}}\left[\int_{-1}^{1} P_{l}^{m}(x)d(x)\right];\forall l\in\mathbb{N},\forall m=1,3,5,...\\ \phi (r,\theta,\varphi)_{fuera}=\sum^{\infty}_{l=0}\sum^{l}_{m=-l}(\dfrac{B_{l,m}}{r^{l+1}})Y_{l,m}(\theta,\varphi)\\ \Rightarrow B_{l,m}=R^{l+1}\dfrac{4\phi_{o}}{im}\sqrt{\dfrac{2l+1}{4\pi}\dfrac{(l-m)!}{(l+m)!}}\left[\int_{-1}^{1} P_{l}^{m}(x)d(x) \right];\forall l\in\mathbb{N},\forall m=1,3,5,...$$

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Entonces necesitas una rotación de $\pi/2$ alrededor del eje x, ¿Estoy entendiendo correctamente?

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@LucJ.Bourhis Bueno, de hecho es una rotación de $\pi/2$ pero creo que es alrededor del eje y y z, con el eje x fijo

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Sí, eso es lo que quise decir. Aún está un poco confuso lo que exactamente hiciste. ¿Podrías explicarlo con un poco de matemáticas?

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Dmitry Nikolayev Puntos 48

Esta no es una respuesta completa, solo una sugerencia para comenzar, porque no sé cómo terminar, o incluso si este puede ser un camino exitoso. Lo que estoy proponiendo hacer es rotar los armónicos esféricos en tu segunda derivación, esperando así poder recuperar tu primera derivación.

En tu segunda derivación, supongo que has utilizado armónicos esféricos reales, aunque la notación estándar de $Y_{lm}$ se refiere a los complejos. Así que solo para no confundirme, escribiré $S_{lm}$ para el real y $Y_{lm}$ para los complejos, es decir, los primeros son los que están en tus fórmulas. Luego escribiré el vector columna de todos los $S_{lm}$ para $-l\le m\le l$ como $S_l$, y de manera similar el vector columna de todos los $Y_{lm}$ para $-l\le m\le l$ como $Y_l$. Dado que $S_{lm}$ es una combinación lineal de $Y_{lm}$ para $-l\le m\le l$, hay una matriz $C$ de $(2m+1)\times(2m+1)$ tal que

$$S_l = C Y_l. \tag{1}$$

El resultado importante ahora es que la rotación $Y'_{lm}$ de $Y_{lm}$ es una combinación lineal de $Y_{l,n}$ (el mismo $l$ para ser claro). Por lo tanto, podemos hablar de una matriz $D_l$ tal que

$$Y'_l=D_l Y_l. \tag{2}$$

Esa matriz $D_l$ es el camino hacia la solución de tu problema. Este es uno conocido: se llama la matriz D de Wigner y hay expresiones explícitas para ello. Luego, combinando las ecuaciones (1) y (2), puedes obtener una matriz $\Delta_l$ tal que

$$S'_l = \Delta S_l,$p>

donde $S'_{lm}$ es la rotación de $S_{lm}$. Esa matriz $\Delta_l$ es lo que necesitas eventualmente. Puedes encontrar todos los detalles y la fórmula que necesitarías en [1].

No hay garantía de que esto resulte ser factible. Me temo que no tengo idea más allá de eso, ¡pero estaría encantado de discutir más si te apetece!


  1. Miguel A. Blanco, M. Flórez y M. Bermejo. Evaluación de las matrices de rotación en la base de armónicos esféricos reales. J. Mol. Struct. 419, 19-27 (1997), CiteSeerX eprint.

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@PatrickC propuso en una edición agregar una referencia a "Matrices de rotación para armónicos esféricos reales: rotaciones generales de orbitales atómicos en ejes fijos en el espacio", Didier Pinchon y Philip E Hoggan 2007 J. Phys. A: Math. Theor. 40 1597". Yo estaba al tanto de ese artículo pero no creo que ayudaría mucho al OP ya que está orientado hacia una evaluación eficiente de las matrices de rotación $\Delta_l$ para grandes $l$ combinando rotaciones alrededor del eje z con el intercambio de los ejes x y z: los primeros tienen matrices simples y los últimos pueden ser calculados de una vez por todas mediante recurrencia. El OP necesita fórmulas cerradas

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Sí, hay una conexión entre el generador de las funciones de Legendre (del primer tipo) y los armónicos esféricos.

Las funciones de Legendre (del primer tipo) tienen la función generadora

$$ G(\cos\theta, h) = \frac{1}{\sqrt{1-2h\cos\theta + h^2}} = \displaystyle\sum_{\ell=0}^{\infty} h^{\ell}P_{\ell}(\cos\theta)\,,\quad |h| < 1$$

donde $h$ es una variable ficticia (ver "Métodos Matemáticos para Físicos," por George B. Arfken y Hans J. Weber (4ª edición, página 694, donde he sustituido $x = \cos\theta$ y establecido $t = h$).

Las funciones de Legendre (del primer tipo) $P_{\ell}(\cos\theta)$ son polinomios en $\cos\theta$ de grado $\ell\,$ y satisfacen la ecuación diferencial ordinaria

$$ \frac{d^2y}{d\theta^2} + 2\cot\theta\frac{dy}{d\theta} + \ell(\ell + 1)y = 0\,.$$

Para ver la conexión con los armónicos esféricos consideramos la solución de la ecuación de Laplace

$$\nabla^2U({\bf r}) = 0$$

para la función $U({\bf r}) = U(r, \theta, \varphi)$ usando coordenadas polares esféricas $(r, \theta, \varphi)$ donde

$$ 0 \le r < \infty\,,\hspace{3mm} 0 \le \theta \le \pi\,,\hspace{3mm} 0 \le \varphi < 2\pi\,.$$

Si la función $U({\bf r})$ se puede escribir como $U(r\,,\theta\,, \varphi) = R(r) \Theta(\theta)\Phi(\varphi)$, es decir, asumimos la separación de variables, entonces (ver algunos libros sobre matemáticas para físicos o métodos matemáticos para físicos, por ejemplo Matemáticas para Físicos" por B.R. Martin y G. Shaw, Métodos Matemáticos para Física e Ingeniería," 3ª edición por K.F. Riley et al, "Métodos Matemáticos para Físicos," por George B. Arfken y Hans J. Weber (cualquier edición))

obtenemos las ecuaciones diferenciales ordinarias

$$r^2\frac{d^2R}{dr^2} + 2r\frac{dR}{dr} - \lambda R=0$$

y

$$\left[\frac{\sin\theta}{\Theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) + \lambda\sin^2\theta\right] + \frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{d\varphi^2}=0$$

donde $\lambda = \ell(\ell+1)$.

En la segunda de estas ecuaciones nuevamente usamos la separación de variables y establecemos la constante de separación como $m^2$ para obtener

$$\frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{d\varphi^2} = -m^2$$

y

$$\frac{\sin\theta}{\Theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) + \ell(\ell+1)\sin^2\theta=m^2\,,$$

que es la ecuación diferencial asociada de Legendre.

La primera de las dos ecuaciones diferenciales ordinarias inmediatamente anteriores tiene la solución

$$\Phi(\varphi) = A\cos(m\varphi) + B\sin(m\varphi)\,,$

donde $m$ es un entero (requerido para soluciones univaluadas de $U$), con $A$ y $B$ siendo constantes.

La ecuación diferencial asociada de Legendre tiene la solución

$$\Theta(\theta) = CP^{m}_{\ell}(\cos\theta) + DQ^{m}_{\ell}(\cos\theta)$$ donde $C$ y $D$ son constantes y $P^{m}_{\ell}(\cos\theta)$ y $Q^{m}_{\ell}(\cos\theta)$ son las funciones de Legendre asociadas del primer y segundo tipo respectivamente. En problemas físicos normalmente requerimos soluciones que sean bien comportadas en el eje de simetría que tomamos como el eje $z$. Por lo tanto, $D=0$ ya que $Q^{m}_{\ell}(\cos\theta)$ diverge en $\theta =0$ y $\theta=\pi$.

Esto nos lleva a la conexión con los armónicos esféricos. Los armónicos esféricos vienen dados por (ver "Métodos Matemáticos para Ingeniería y Física" por K.F. Riley (3ª edición))

$$Y^{m}_{\ell}(\theta, \varphi) = (-1)^{m}\left[\frac{2\ell+1}{4\pi}\frac{(\ell - m)!}{(\ell + m)!}\right]^{1/2}P^{m}_{\ell}(\cos\theta)(\cos(m\varphi)+i\sin(m\varphi))\,,$

donde $\ell \ge 0$ y $-\ell \le m \le \ell\,.$

Para obtener los polinomios de Legendre del primer tipo $P_{\ell}(\cos\theta)$ establecemos $m=0$ en la expresión de las funciones armónicas esféricas, es decir

$$P_{\ell}(\cos\theta) = \left[\frac{4\pi}{2\ell+1}\right]^{1/2}Y^{0}_{\ell}(\theta,\varphi)\,.$$

Dada esta relación podrías sustituir la expresión de $P_{\ell}(\cos\theta)$ en términos de $Y^{0}_{\ell}(\theta,\varphi)$ en la serie de potencias que define la función generadora $G(\cos\theta, h)$.

Además, podrías usar la siguiente expresión (conocida como fórmula de Rodrigues) (ver "Métodos Matemáticos para Físicos" por George B. Arfken and Hans J. Weber, 4ª edición, pg. 738, fórmula 12.144 con la substitución $x=\cos\theta$ y $n=\ell$) $$P^{m}_{\ell}(\cos\theta) = (\sin\theta)^{m}\frac{d^{m}P_{\ell}(\cos\theta)}{d(\cos\theta)^{m}}$$

donde

$$P_{\ell}(\cos\theta) = \frac{1}{2^{\ell}\ell!}\frac{d^{\ell}(\cos^2\theta -1)^{\ell}}{d(\cos\theta)^{\ell}}$$

y sustituirlo en la expresión de los armónicos esféricos $Y^{m}_{\ell}(\theta,\varphi)$.

Continuando con esto posiblemente podrías obtener una expresión de la serie de potencias para $P_{\ell}(\cos\theta$) en términos de $G(\cos\theta, h)$ y luego poner esto en la fórmula para $Y^{m}_{\ell}(\theta,\varphi)$ pero esto sería difícil.

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