Recientemente tuve que resolver un problema simple en el que tenía una esfera de radio $R$ con un potencial constante (pero con signo diferente) en ambas hemisferios, y me pidieron obtener el potencial electrostático para cada punto en el espacio. Y tuve que hacerlo con ambas hemisferios a lo largo del eje $z$, y luego resolver el mismo problema pero con los hemisferios a lo largo del eje $y$. Así que resolví ambos problemas, primero con el potencial con la función generadora de Legendre y simetría azimutal, y el segundo con la expresión del potencial con armónicos esféricos. ¿Pero la última pregunta fue encontrar la matriz de rotación para mostrar que ambas soluciones son iguales? Y esto es lo que no entiendo, ¿hay alguna relación entre la función generadora de Legendre y los Armónicos Esféricos para rotaciones?
Primera solución del potencial, tomando la solución general con simetría azimutal: $$ \phi (r,\theta)=\sum^{\infty}_{l=0}\left(A_{l}r^{l}+\dfrac{B_{l}}{r^{l+1}}\right)P_{l}(\cos\theta)$$ con condiciones de frontera: $$ a)\phi(R,\theta)=\phi_{o};\text{ si }\theta \in [0,\pi /2) \\ \phi(R,\theta)=-\phi_{o};\text{ si } \theta \in [\pi /2, \pi]\\ b)r\rightarrow \infty; \phi(r)=0\\ c)r=0; \phi(r);\text{ finito } $$ obteniendo el potencial para dentro y fuera de la esfera. $$ \phi (r,\theta)_{dentro}=\sum^{\infty}_{l=0}(A_{l}r^{l})P_{l}(\cos\theta)\\ \Rightarrow A_{l}=\phi_{0}\left[\int_{0}^{1}P_{l}(x)dx\right]\left(\dfrac{2l+1}{R^{l}}\right); \forall l=1,3,5,... \\\phi (r,\theta)_{fuera}=\sum^{\infty}_{l=0}\dfrac{B_{l}}{r^{l+1}}P_{l}(\cos\theta)\\ \Rightarrow B_{l}=\phi_{0}[\int_{0}^{1}P_{l}(x)dx](2l+1)R^{l+1}; \forall l=1,3,5,...$$
Luego la segunda solución, con la esfera rotada 90 grados alrededor del plano $YZ$; $$ \phi (r,\theta,\varphi)=\sum^{\infty}_{l=0}\sum^{l}_{m=-l}(A_{l,m}r^{l}+\dfrac{B_{l,m}}{r^{l+1}})Y_{l,m}(\theta,\varphi)$$ con condiciones de frontera: $$ a)\phi(R,\theta)=\phi_{o}; si \varphi \in [0,\pi)\\ \phi(R,\theta)=-\phi_{o}; si \varphi \in [\pi, 2\pi]\\ b)r\rightarrow \infty; \phi(r)=0\\ c)r=0; \phi(r);finito $$ obteniendo el potencial para dentro y fuera de la esfera. $$ \phi (r,\theta,\varphi)_{dentro}=\sum^{\infty}_{l=0}\sum^{l}_{m=-l}(A_{l,m}r^{l})Y_{l,m}(\theta,\varphi)\\ \Rightarrow A_{l,m}=R^{-l}\dfrac{4\phi_{o}}{im}\sqrt{\dfrac{2l+1}{4\pi}\dfrac{(l-m)!}{(l+m)!}}\left[\int_{-1}^{1} P_{l}^{m}(x)d(x)\right];\forall l\in\mathbb{N},\forall m=1,3,5,...\\ \phi (r,\theta,\varphi)_{fuera}=\sum^{\infty}_{l=0}\sum^{l}_{m=-l}(\dfrac{B_{l,m}}{r^{l+1}})Y_{l,m}(\theta,\varphi)\\ \Rightarrow B_{l,m}=R^{l+1}\dfrac{4\phi_{o}}{im}\sqrt{\dfrac{2l+1}{4\pi}\dfrac{(l-m)!}{(l+m)!}}\left[\int_{-1}^{1} P_{l}^{m}(x)d(x) \right];\forall l\in\mathbb{N},\forall m=1,3,5,...$$
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Entonces necesitas una rotación de $\pi/2$ alrededor del eje x, ¿Estoy entendiendo correctamente?
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@LucJ.Bourhis Bueno, de hecho es una rotación de $\pi/2$ pero creo que es alrededor del eje y y z, con el eje x fijo
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Sí, eso es lo que quise decir. Aún está un poco confuso lo que exactamente hiciste. ¿Podrías explicarlo con un poco de matemáticas?
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@LucJ.Bourhis ¿Es suficiente la elaboración matemática o quieres más detalles? ¿Cómo puedo mostrar que ambas soluciones son iguales?