Tengo dos preguntas.
La primera pregunta se refiere a la observación de la página 32. Sea $x, y, h$ sea una base estándar de $\mathfrak sl(2, F).\,V_\lambda$ es un espacio de pesos. Tenemos el siguiente lema :
Lema. Si $v \in V_\lambda,$ entonces $x.v \in V_{\lambda+2}$ y $y.v \in V_{\lambda-2}.$
Y aquí está la observación relacionada con este lema.
Observación. El lema implica que $x, y$ están representados por endomorfismos nilpotentes de $V.$
Esta es mi opinión.
Para cualquier $v \in V, v \in V_\lambda$ para algunos $\lambda.$ Entonces, $x.v \in V_{\lambda+2} \Rightarrow x^2.v \in V_{\lambda+4} \Rightarrow ...\Rightarrow x^n.v \in V_{\lambda+2n}.$ Desde $V$ es de dimensión finita, $V_{\lambda+2n}=0$ para algunos $n.$ Por lo tanto, $x$ es nilpotente. Nilpotencia de $y$ se puede demostrar de forma similar.
¿Estoy en lo cierto?
La segunda pregunta es sobre el párrafo justo al lado de la prueba del lema en la misma página 32. Dice que
Gracias a la fórmula (a), la parte no nula $v_i$ son linealmente independientes.
Y de nuevo, esto es lo que pensé.
La fórmula (a) es $h.v_i=(\lambda-2i)v_i.$ Supongamos que $\sum c_iv_i=0.$ Por (a), $0=h(0)=h(\sum c_iv_i)=\sum(\lambda-2i)c_iv_i.$ Otra vez, $0=h(0)=h(\sum(\lambda-2i)c_iv_i)=\sum(\lambda-2i)^2c_iv_i.$ Repitiendo este proceso, obtenemos
$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 &\cdots& 1 \\ \lambda-2 & \lambda-4 &\cdots& \lambda-2n \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ (\lambda-2)^{n-1} & (\lambda-4)^{n-1} & \cdots & (\lambda-2n)^{n-1} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1v_1\\ c_2v_2\\ \vdots \\ c_nv_n \end{pmatrix}=0 $$
Como la matriz de la izquierda es invertible (de hecho, es la matriz de Vandermonde), tenemos $c_iv_i=0$ para cada $i.$ Así, $c_i=0$ para todos $i$ y por lo tanto $v_i$ son linealmente independientes.
¿Estoy en lo cierto? Si me equivoco, ¿podría darme alguna pista? Gracias por leer las largas preguntas y gracias por su respuesta de antemano.
