Para a,b que satisface $a^2+b^2=2$ . Demostrar que $3a+3b+ab\geq -5$ .

Question

Para a,b que satisface $a^2+b^2=2$ . Demostrar que $3a+3b+ab\geq -5$ . Mi intento: Tenemos $$2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2$$ así que $$-2\leq a+b \leq 2$$ Por otro lado $$ab=\frac{(a+b)^2-2}{2}=(a+b)^2-1$$

Answer 1

Observa, $$a^2+b^2=2\implies (a+b)^2=2(ab+1)$$ Queda por demostrar que $$3(a+b)+(ab+1)+4\ge0\;\Longleftrightarrow\;3(a+b)+\frac{(a+b)^2}{2}+4\ge0$$ Dejemos que $a+b=x$ tenemos, $$3x+\frac{x^2}{2}+4\ge0\;\Longleftrightarrow\;x^2+6x+8\ge0\;\Longleftrightarrow\;(x+2)(x+4)\ge0$$ $$\therefore\;x\le-4 \;\;\text{or}\;\;x\ge -2$$ Ya que ha demostrado que $a+b\ge-2$ la desigualdad debe ser verdadera.

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Solución alternativa: Utilizando la desigualdad AM-GM, $$\frac{a^2+b^2}{2}\ge\sqrt{a^2b^2}\implies 1\ge ab$$ Sumando las desigualdades, $$3a+3b+ab\ge-5$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1\ge ab$$ Queda por demostrar que $a+b\ge-2$ lo cual sabemos que es cierto.

Answer 2

Es casi seguro que éste no es el método previsto (que implicaría álgebra), pero siempre se puede echar mano del cálculo para resolverlo. Efectivamente estamos buscando minimizar la función $f(x,y)=3x+3y+xy$ en el círculo $x^2+y^2=2$ . Como el círculo es cerrado y acotado, es compacto y, por tanto, tenemos garantizados los valores extremos. Utilizando los multiplicadores de Lagrange, sabemos que al introducir una variable $\lambda$ el máximo y el mínimo deben producirse en puntos que satisfagan $$\nabla f=\lambda \nabla g$$ donde $g$ es su restricción.

Así, tomando los parciales con respecto a $a$ y $b$ y poniéndolos iguales entre sí, obtenemos $$3+b=2\lambda a$$$$3+a=2\lambda b$$ suponiendo que $a\neq 0, b\neq 0$ y resolviendo para $\lambda$ en cada uno de ellos y poniéndolos iguales entre sí, obtenemos $$\frac {3+b} a=\frac {3+a} b$$ Multiplicando en cruz, obtenemos $$3b+b^2=3a+a^2$$

Dado que las cuadráticas son 2 a 1 (excepto para x=0), obtenemos que las únicas soluciones aquí son $a=\pm b$ . Combinando esto con nuestra ecuación de restricción $a^2+b^2=2$ obtiene los posibles valores críticos de $(\pm 1,\pm 1)$ para el caso no igual a 0. Sólo probando los casos iguales a 0 se suman los puntos $(0,\pm \sqrt 2),(\pm \sqrt 2,0)$

Evaluando en todos los casos, se obtiene que el valor más pequeño se da en $(-1,-1)$ que es $-5$ , con lo que se tiene la desigualdad en cuestión. (Además, incluso sabes que el límite es el logrado y dónde)

Answer 3

Dejemos que $x=a+1,y=b+1$ . Entonces el enunciado es equivalente a $$(x-1)^2+(y-1)^2=2\Rightarrow 3(x-1)+3(y-1)+(x-1)(y-1)\geq -5,$$ o $$x^2+y^2=2x+2y\Rightarrow (2x+2y)+xy\geq 0,$$ lo cual está claro, ya que $$(x^2+y^2)+xy\geq 0.$$

Answer 4

Dejemos que $a = \sqrt{2} \cos u, b = \sqrt{2} \sin u$ que satisface inmediatamente la condición Utilizando El truco favorito de Simon para el factoring , $9 + 3a + 3b + ab = (a + 3)(b + 3)$ Así que por C-S:

$$(\sqrt{2} \cos u + 3)(\sqrt{2} \sin u + 3) ≥(\sqrt{\sqrt{2} \cos u} \sqrt{\sqrt{2} \sin u} + \sqrt{3} \sqrt{3})^2$$

$$= (\sqrt{2 \cos u \sin u} + 3)^2 = (\sqrt{\sin(2u)} + 3)^2$$

Hay dos valores que tienen $\sqrt{2} \cos u$ , $\sqrt{2} \sin u$ como su cuadrado. Eligiendo el valor negativo para el mínimo, éste es mayor o igual a $(-1 + 3)^2 = 4$ Por lo tanto $3a + 3b + ab ≥ 4 - 9 = -5$ .

Answer 5

Dejar $a=x-y$ y $b=x+y$

$a^2+b^2=2 \implies x^2+y^2=1 $

sustituyendo $y$ dado que $x^2+y^2=1 \implies $ el problema ahora es demostrar que $6x+x^2-y^2 \ge -5 \iff 2x^2+6x-1 \ge -5 $ (1)

$y^2=1-x^2 \ge 0 \implies -1 \ge x \ge 1$ es suficiente para ver que (1) $\iff (x-1)(2x-4) $ que es fácil de comprobar que es positivo cuando $-1 \ge x \ge 1$