Estoy interesado en una red cuadrada con el campo magnético vertical. Sin campo magnético, podemos conocer la dispersión de energía de la red cuadrada fácilmente. Pero, ¿qué pasa en el caso de con campo magnético? ¿Mi teoría mostrada a continuación es correcta o no?
Sin campo magnético
Utilizamos la aproximación de enlace estrecho. Consideramos sólo orbitales 2Pz y hasta la integral de salto más cercana t. Por supuesto, t es un número real. En este caso, la matriz hamiltoniana es unidimensional ya que el número de átomos en la celda unitaria de este sistema es sólo uno y viene dado por $$ H(k_x,k_y) = te^{ik_xa}+te^{-ik_xa}+te^{ik_ya}+te^{-ik_ya} \\ =2t \cos{k_xa}+ 2t \cos{k_y a}, $$
donde a es la constante de red. Y podemos definir el vector de onda $\vec{k}=(k_x,k_y)$ porque el sistema tiene una condición de contorno periódica. La figura de la derecha es la dispersión de energía de este sistema.
Con campo magnético
Consideramos la red cuadrada con el campo magnético vertical $\vec{B}=(0,0,B)$ . Definimos el potencial vectorial $\vec{A}=(0,Bx,0)$ . En este sistema, la integral de transferencia se convierte en un número complejo debido a la fase de Peierls. Se sabe que cuando consideramos la integral de transferencia del campo magnético t se convierte en $${\rm texp}[i\int_C \vec{A} \cdot d{\vec r}].$$ C es el camino del salto. En este sistema, la integral de salto de la dirección x no cambia porque $${\rm exp}[(0,Bx,0)\cdot(1,0,0)]=1.$$
Pero la integral de salto de la dirección y cambia y depende de la posición x. Por eso el número de átomos en una celda unitaria se convierte en N. La línea roja significa la celda unitaria de este sistema en la figura. Ahora, consideramos la condición de frontera periódica en la dirección x y y. Por lo tanto,
\begin{eqnarray} te^{i(N+1)Ba}=te^{iBa}. \end{eqnarray}
Podemos entender $B$ debería estar satisfecho con
$$ B=\frac{2n \pi}{Na} $$
donde n es un número entero.
Así que hice la matriz hamiltoniana en caso de $N=4$ . $$\begin{pmatrix} 2t\cos{(Ba+k_ya)} & te^{ik_xa} & 0 & te^{-ik_xa}\\ te^{-ik_xa} & 2t\cos{(2Ba+k_ya)} & te^{ik_xa} & 0\\ 0 & te^{-ik_xa} & 2t\cos{(3Ba+k_ya)} & te^{ik_xa}\\ te^{ik_xa} & 0 & te^{-ik_xa} & 2t\cos{(4Ba+k_ya)}\\ \end{pmatrix}$$
Y según el Mathematica8, podemos conocer los Eigenvalores analíticamente, y lo grafiqué para t=1,a=1 y n=1. Así que esta es la dispersión de energía de la red cuadrada con el campo magnético. ¿Es esto correcto?
Editar
Según el Mathematica8, cuando B=0, los valores propios del Hamiltoniano de 4 dimensiones son $$ -2t\cos{k_xa}+2t\cos{k_ya}, \\ 2t\cos{k_xa}+2t\cos{k_ya},\\ 2t\cos{k_xa}-2t|\sin{k_ya}|,\\ 2t\cos{k_xa}+2t|\sin{k_ya}|. $$
Es muy extraño. Por qué no es el mismo que el resultado de la sección anterior "Sin campo magnético"
He encontrado este documento . ¿Ves la figura 2.6? Creo que esta figura es la misma que la mía.
