¿Cuáles son las "condiciones suaves" que describe Wikipedia y que permiten la equivalencia asintótica?

Question

De " Análisis asintótico " en Wikipedia :

Si $f\sim g$ y $a\sim b$ entonces en algunas condiciones leves se mantiene lo siguiente.

• $f^r\sim g^r$ para cada real $r$
• $\log(f)\sim\log(g)$
• $f\times a\sim g\times b$
• $f/a\sim g/b$

¿Qué son estas "condiciones leves"?

A modo de recordatorio, $f\sim g$ si y sólo si $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1$ .

Answer 1

Lo difícil es el registro. Si $f \sim g$ entonces $\lim_{x \to \infty} (\log f(x) - \log g(x)) = 0$ por la continuidad de $\log$ y si $\log f(x), \log g(x)$ está acotado fuera de $0$ (en otras palabras, si $f$ y $g$ están acotados fuera de $1$ ), y que la diferencia vaya a $0$ es más fuerte que tener la proporción de $1$ .

Para explicar esto: si hay un $n$ y un $\epsilon>0$ tal que $|\log g(x)| \ge \epsilon$ para $x \ge n$ entonces $$ \left|\frac{\log f(x)}{\log g(x)} - 1\right| = \frac{|\log f(x) - \log g(x)|}{|\log g(x)|} \le \frac1\epsilon |\log f(x) - \log g(x)| $$ cuando $x \ge n$ el RHS va a $0$ por lo que el LHS pasa a $0$ y $\log f(x) \sim \log g(x)$ .

Por otro lado, si tomamos $f(x) = 1 + \frac1x$ y $g(x) = 1 + \frac1{x^2}$ entonces $f \sim g$ pero $\log f(x) \sim \frac1x$ y $\log g(x) \sim \frac1{x^2}$ para que no tengamos $\log f \sim \log g$ . Así que era necesaria alguna hipótesis como la anterior.

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Lo demás son sólo aplicaciones de las leyes límite y de la continuidad.

Si $\frac{f(x)}{g(x)} \to 1$ entonces $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^r \to 1^r = 1$ porque $x \mapsto x^r$ es continua en $1$ . Esto se rompe si $f(x)^r$ y $g(x)^r$ no están definidos, por lo que, por ejemplo, si $f$ y $g$ son negativos y $r$ no es un buen exponente. Pero si se definen, entonces $\frac{f(x)^r}{g(x)^r} = \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^r$ . Así que tenemos $f^r \sim g^r$ si no hay problemas para escribir ambos lados.

Los dos últimos son sólo multiplicación de límites y la única objeción que se me ocurre ahí es que a veces $f/a$ o $g/b$ puede ser indefinido.