¿Cuál es la probabilidad de que el teléfono suene (es decir, que llegue la primera llamada) en los próximos $30$ minutos (es decir, dentro de los próximos $1/2$ una hora)?

Question

Dan, Dominic y Doug esperan juntos en la sala de estar a que sus amigas, Sally, Shellie y Susanne, llamen. Sus tiempos de espera (en horas) son variables aleatorias exponenciales independientes, con parámetros $2.1$ , $3.7$ y $5.5$ respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que el teléfono suene (es decir, que llegue la primera llamada) dentro de los siguiente $30$ minutos (es decir, dentro de los próximos $1/2$ una hora)?

así que $\lambda_1 = 1/126$ para Dan

$\lambda_2 = 1/222$ para Dominic

$\lambda_3 = 1/330$ para Doug

Sea X el tiempo de espera de Dan. Y representa el tiempo de espera de Dominic. Z representa el tiempo de espera de Doug.

$P(X\leq30) = 1 -e^{-30/126}$

$P(Y\leq30) = 1 -e^{-30/222}$

$P(Z\leq30) = 1 -e^{-30/330}$

así que $P(min (X,Y,Z) \leq 30) = ???$

No sé qué hacer en este último paso. La respuesta final es $0.9965$ Pero, ¿cómo han conseguido esa respuesta?

Answer 1

Consideremos dos variables aleatorias exponenciales independientes, cada una con un parámetro de tasa diferente, digamos $X \sim \operatorname{Exponential}(\lambda)$ , $Y \sim \operatorname{Exponential}(\theta)$ con $$F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad F_Y(y) = 1 - e^{-\theta y}.$$ Construimos una nueva variable aleatoria $Z = \min(X,Y)$ . ¿Cómo es $Z$ ¿distribuido? Observamos $$\Pr[Z > z] = \Pr[\min(X,Y) > z] = \Pr[(X > z) \cap (Y > z)] \overset{\text{ind}}{=} \Pr[X > z]\Pr[Y > z] = e^{-\lambda z} e^{-\theta z} = e^{-(\lambda + \theta)z}.$$ Por lo tanto, $$F_Z(z) = \Pr[Z \le z] = 1 - \Pr[Z > z] = 1 - e^{-(\lambda + \theta)z},$$ significa $Z = \min(X,Y)$ es exponencial con tasa $\lambda + \theta$ la suma de las tasas de $X$ y $Y$ . Por lo tanto, si tenemos tres variables aleatorias exponenciales independientes, el mínimo de estos tiempos de espera también será exponencial con una tasa igual a la suma de las tasas individuales.

Aplicando esto a la pregunta, tenemos entonces la probabilidad de que la primera llamada que llegue esté dentro del primer $30$ minutos es simplemente $$\Pr[W = \min(X,Y,Z) \le 30] = 1 - e^{-(\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3)30} = 1-e^{-0.464139} \approx 0.371324.$$ No consigo la respuesta reclamada; es demasiado grande.

Answer 2

Derivación del mínimo:

$V = \min(X,Y,Z)$ Utilice el método de la FCD para encontrar la distribución de $V.$

$$F_V(v) = P(V \le v) = 1 - P(V > v) \\ = 1 - P(X>v, Y>v, Z>v)\\ = 1 - P(X>v)P(Y>v)P(V>v) \\ = 1 - e^{-\lambda_1v}e^{-\lambda_2v}e^{-\lambda_3v} = 1 - e^{-(\lambda_+\lambda_2+\lambda_3)v},$$ para $v > 0.$ Reconocemos esto como la FCD de una distribución exponencial con tasa $\lambda = \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3.$

$P(V \le 30) = 1 - e^{-30\lambda} = 0.3713.$ Cálculo en R:

lam.1  = 1/126;  lam.2 = 1/222;  lam.3 = 1/330
lam = lam.1 + lam.2 + lam.3;  lam
[1] 0.01547132
1 - exp(-30*lam)
[1] 0.3713241
pexp(30, lam)  3 'pexp' is exponential CDF
[1] 0.3713241

Simulación:

set.seed(2021) lam.1 = 1/126; lam.2 = 1/222; lam.3 = 1/330 # tasas por min. x = rexp(10^6, lam.1) y = rexp(10^6, lam.2) z = rexp(10^6, lam.3) v = pmin(x,y,z) media( v <= 30) 1 0.629108 2*sd(v <= 30)/1000 1 0.0009660877

mean(v <= 30)
[1] 0.370892
2*sd(v <= 30)/1000
[1] 0.0009660877

Así que la probabilidad de una llamada en la próxima media hora es $P(V \le 30) \approx 0.371 \pm 0.001.$

hdr = 
 "Histogram of Simulated Dist'n of V 
with Density of EXP(rate=0.0155)"
hist(v, prob=T, br=50, col="skyblue2", main=hdr)
 curve(dexp(x, 0.0155), add=T, col="red", lwd=2)
 abline(v = 30, col="darkgreen", lwd=2, lty="dotted")

Answer 3

Sugerencia: tienes que encontrar $P(X\leq30 \cup Y\leq30 \cup Z\leq30 )$

Answer 4

Un enfoque mucho más sencillo. El resultado deseado es $1-Prob((X\ge30) \cap (Y\ge 30)\cap (Z\ge 30))=$$ 1-e^{-(30/126+30/222+30/330)}=.3713$

El resultado final utiliza la independencia.