Transformación de derivadas y potencia

Question

Dejemos que $f(x)$ sea una función suave estrictamente creciente definida en $[0,1]$ tal que $f(0)=0$ . Supongamos que la derivada derecha $f'(0+)=0$ . ¿Es cierta la siguiente afirmación?

Declaración: Dada tal $f(x)$ existe una constante $\varepsilon>0$ tal que $g(x)=(f(x))^\varepsilon$ tiene una primera derivada derecha positiva en $x=0$ Es decir, $g'(0+)>0$ .

Answer 1

Dejemos que $f(x)=e^{\frac{-1}{x^2}}$ . Entonces, para cualquier $\epsilon>0$ tenemos $$g(x)=(f(x))^\epsilon=e^{\frac{-\epsilon}{x^2}}$$ que satisface $g'(0)=0$ .