Ejemplos de funciones absolutamente continuas que no son Lipschitz.

Question

Acabo de resolver un ejercicio, que pedía mostrar que la función $f$ es Lipschitz implica que $f$ es absolutamente continua. Sin embargo, me pregunto si la afirmación contraria es verdadera. No puedo pensar en ejemplos contrarios en este momento. Creo que mi cerebro dejó de funcionar o algo así, así que necesito ayuda.

Answer 1

Tome cualquier función integrable no acotada $f(x)$. Entonces su antiderivada $F(x) = \int_0^x f(t)$ es absolutamente continua.

Pero como $f$ no está acotada, F no es Lipschitz.

También está el interesante artículo En alabanza de $x^a \sin (1/x)$ [citado abajo], que muestra que $x^{3/2} \sin(1/x)$ es AC pero no es Lipschitz en $[0,1]$.

• Kaptanoglu, H. Turgay. "En alabanza de $y= x^\alpha \sin \left(\frac{1}{x}\right)$." The American Mathematical Monthly 108.2 (2001): 144-150.

Answer 2

Consider $f(x) = \sqrt{x}$ en $[0,c]$. Entonces $f^\prime (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ no está acotada y por lo tanto $f$ no es Lipschitz.

Pero $f(x) = \sqrt{x}$ es absolutamente continua en $[0,c]$. Para ver esto, observe

(i) $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = x - y$

(ii) Dado que $- \sqrt{y} \leq \sqrt{y}$ tienes $(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \leq (\sqrt{x} + \sqrt{y})$

Ahora, sea $\varepsilon > 0$. Elija $\delta := \varepsilon^2$ entonces $$ (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 \leq (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = x-y < \delta$$

Answer 3

Vemos que sabemos que la integral indefinida de una función integrable es absolutamente continua y estas son las únicas funciones absolutamente continuas.

Por lo tanto, queremos encontrar una función f que sea integrable pero acotada, entonces su integral indefinida F (supongamos) será absolutamente continua pero la derivada de F, que es precisamente f casi en todas partes, es acotada y por lo tanto F no es una función lipschitz.

Podemos definir $f:(0,1)\to \mathbb R$ como $f(x)=x^\frac{-1}{2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

entonces claramente $f$ no está acotada pero es una función integrable ya que su integral es $2$ en $(0,1)$ que es finita. Así que su integral indefinida que es $2\sqrt(x)$ es nuestra función absolutamente continua requerida que no es lipschitz (ya que su derivada, $f$, no está acotada)