Sea T : V V una transformación lineal de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo F a sí mismo. Supongamos que { $v, T v, T^2v, . . . $ } span V para algún v V .
Demuestre que (i) existe un k tal que $v, T v, . . . , T^{k-1}v$ son linealmente independientes y para algún $_i$ F
$T^kv = 0v + 1T v + · · · + k1T^{k1}v$
Por lo tanto, muestra { $v, T v, T^2v, ...,T^{k-1}v $ } es una base para V.
No es necesario conocer el teorema de Cayley-Hamilton.
El resultado no es cierto para $V=\{0\}$ en la forma en que está formulada, por lo que asumo $\dim V>0$ . En particular $v\ne0$ o el conjunto dado no puede abarcar $V$ .
Existe $k\ge0$ tal que $\{v=T^0v,Tv,T^2v,\dots,T^{k-1}v\}$ es linealmente independiente, por ejemplo $k=1$ porque $v\ne0$ .
Existe $k\ge0$ tal que $\{v=T^0v,Tv,T^2v,\dots,T^{k-1}v\}$ es linealmente dependiente, porque $V$ es de dimensión finita, por lo que $k=1+\dim V$ es suficiente.
Existe un máximo $k\ge0$ tal que $\{v=T^0v,Tv,T^2v,\dots,T^{k-1}v\}$ es linealmente independiente, debido a los dos hechos anteriores.
En particular $T^{k}v$ es una combinación lineal de $\{v=T^0v,Tv,T^2v,\dots,T^{k-1}v\}$ Así que $$ T^kv=\alpha_0v+\alpha_1Tv+\dots+\alpha_{k-1}T^{k-1}v $$ Ahora, por inducción en $n$ demostramos que $T^{k+n}v$ es una combinación lineal de $\{v=T^0v,Tv,T^2v,\dots,T^{k-1}v\}$ .
El caso base ya se ha establecido. Por lo tanto, supongamos $$ T^{k+n}v=\beta_0v+\beta_1Tv+\dots+\beta_{k-1}T^{k-1}v $$ Entonces \begin{align} T^{k+n+1}v &=T(\beta_0v+\beta_1Tv+\dots+\beta_{k-1}T^{k-1}v)\\ &=\beta_0Tv+\beta_1T^2v+\dots+\beta_{k-1}T^{k}v\\ &=\beta_0Tv+\beta_1T^2v+\dots+ \beta_{k-1}(\alpha_0v+\alpha_1Tv+\dots+\alpha_{k-1}T^{k-1}v) \end{align} y la afirmación queda demostrada.
Dado que cualquier vector $u\in V$ puede escribirse como $$ v=\sum_{i=0}^m\gamma_iT^iv $$ hemos demostrado que $\{v=T^0v,Tv,T^2v,\dots,T^{k-1}v\}$ es una base de $V$ .
Te daré un esbozo de la prueba para que puedas rellenar los huecos. Dejemos que $v \in V$ sea distinto de cero. Consideremos el espacio $$B= \{g(T) (v) : g(x) \in F[x]\} $$ Este espacio $B$ son combinaciones lineales finitas de los elementos $\{v, T(v), \cdots, \}$ en $F$ .
Demuestra que es un espacio vectorial si quieres. Pero este es el espacio abarcado por $ \{v, T(v), T^2(v), \cdots,\}$ Considere el conjunto $$A = \{g(x) \in F[x] : g(T)(v) = 0\} $$ ¿Cómo sabemos que este conjunto no es sólo cero?
$T: V \to V$ es lineal y $dim(V) < \infty$ para que el polinomio mínimo $p_T(x)$ existe y está automáticamente en $A$ . Es decir $p_T(T)(w) = 0$ por cada $w \in V$ desde $p_T(T) = 0$ .
$A$ es generado por algún polinomio mónico único $g(x) \in F[x]$ .
(Esto viene del álgebra abstracta, F[x] es un dominio euclidiano y por tanto un dominio ideal de principio. $A$ es efectivamente un ideal por lo que tiene un generador).
Demostramos lo siguiente. Sea $g$ sea el polinomio mónico mínimo para $A$ dejar $k$ sea el grado de $g$ . Entonces $v, T(v), \cdots, T^{k-1}(v)$ es una base para $B$ .
Para cualquier polinomio $f \in F[x]$ ya que $F$ es un campo podemos el algoritmo de división.
$$ f = q g + r$$ para algunos $q, r \in F[x]$ donde $r = 0$ o $deg(r) < deg(g) = k$ .
Entonces, como $g(x) \in A$ Evaluación en $v \in V$ , \begin{align*} f(T) v &= (qg)(T)v + r(T) v \\ &= r(T)v \end{align*} O bien $r = 0$ o $deg(r) < k$ . En otras palabras, $v, T(v), \cdots, T^{k-1}(v)$ abarca $B$ .
Tenga en cuenta que $g$ es de grado mínimo. Si existe una combinación lineal no trivial tal que $$c_1 v + \cdots + c_{k-1}T^{k-1}(v) = 0 $$ el polinomio $c_1 + \cdots + c_{k-1} x^{k-1}$ pertenece claramente a $A$ y tiene un grado inferior a $g$ una contradicción. Así que $v, T(v), \cdots, T^{k-1}(v)$ es linealmente independiente y abarca $B$ .
Por su suposición, $B = V$ .
Supongamos que el polinomio característico de $T$ es $p_T(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ .
Entonces, por el Teorema de Cayley-Hamilton: $p_T(T)=T^n+a_{n-1}T^{n-1}+...+a_1T+a_0I=0$ .
Esto significa que $T^{n}=-a_{n-1}T^{n-1}-...-a_1T-a_0I$ .
Y posteriormente, si $k>n$ entonces $T^k=T^{k-n}T^n=T^{k-n}(-a_{n-1}T^{n-1}-...-a_1T-a_0I)$ . Si $k-n<n$ entonces hemos terminado. Si no es así, se continúa de la misma manera hasta que todos los términos estén por debajo $n$ .
En pocas palabras, esto demuestra que para cualquier $k \geq n$ , $T^k$ puede representarse como una combinación lineal de $I,T,T^2,...,T^{n-1}$ . Esto es un resultado directo de Cayley-Hamilton.
Aclaración: $T: V \to V$ y $Dim(V)=n$ .
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