Propiedad de probabilidad condicional

Question

¿Cómo puedo demostrar la siguiente propiedad?

P(A  B  C) = P(A  C) + P(B  C) - P(A  B  C)

Intenté escribirlo como 1 - P((AB)' C) y luego utilizar el (A B)' = A' B' pero no sé cómo continuar a partir de aquí, estoy atascado justo después de usar la fórmula de definición de la probabilidad condicional en esa última forma.

Answer 1

Una explicación más intuitiva aquí. $P(A \cup B)$ es la posibilidad de $A$ que ocurre o $B$ que ocurren de ambos $AB$ que se produce. Así, se suman las probabilidades de los puntos de muestra en $A$ y $B$ pero has contado los puntos de muestra comunes a $A,B$ es decir $A \cap B$ dos veces, por lo que se restan una vez.

Por lo tanto,

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Puedes condicionar tantos eventos como quieras, siempre que seas constante.

Así que,

$P(A \cup B \vert C_1)=P(A|C_1) + P(B|C_1) - P(AB | C_1)$ $P(A \cup B \vert C_1 C_2)=P(A|C_1 C_2) + P(B|C_1 C_2) - P(AB | C_1 C_2)$

Esto es así simplemente porque, cuando se condiciona a $C$ Si el evento se produce con frecuencia, se debe restringir la atención a los ensayos en los que $C$ se produce.

En un sentido frecuentista, su afirmación significa literalmente lo siguiente:

La frecuencia de observación $A$ o $B$ restringiendo la atención a los juicios en los que $C$ ocurre = (Frecuencia con la que $A$ se produce + Frecuencia con la que $B$ frecuencia con la que se producen ambos $AB$ se produjeron) todo ello restringido a los ensayos en los que $C$ se produce.

Por lo tanto, se sostiene.

Answer 2

En primer lugar, demuestre que $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ . Esto se deduce del hecho de que $ A\cup B $ es la unión disjunta de $A\cap B^c$ y $A\cap B$ y $B\cap A^c$ de donde $$ P(A\cup B)+P(A\cap B)=P(A\cap B^c)+P(A\cap B)+P(B\cap A^c)+P(A\cap B)=P(A)+P(B). $$ Ahora utiliza el hecho de que $Q(A)=P(A\mid C)$ es una medida de probabilidad propia de la que se desprende el resultado.