Demostrar que $[B:A]=[f(B):f(A)]\,[(B\cap K):(A\cap K)]$

Question

Dejemos que $G, H$ grupos de finte y $f:G\to H$ un homomorfismo con Kernel $K$ . Dejemos que $A<B$ subgrupos de $G$ y $f(A)<f(B)$ las imágenes. Demuestra que $$[B:A]=[f(B):f(A)]\,[(B\cap K):(A\cap K)]$$

Answer 1

Del Primer Teorema de Isomorfismo:

$\frac{|B|}{|ker(f_{|_B})|}=|f(B)|$

Y

$\frac{|A|}{|ker(f_{|_A})|}=|f(A)|$

$\implies \frac{|B|}{|A|} = \frac{|f(B)|}{|f(A)|}\frac{ker(f_{|_B})}{ker(f_{|_A})} $

Y, $ker(f_{|_B}) = B \cap K$ y $ker(f_{|_A}) = A \cap K$

$\implies [B:A] = [f(B):f(A)][(B\cap K):(A \cap K)]$