Supongamos que $(x_1, x_2, \dots)$ es una secuencia de variables aleatorias definidas como sigue.
$x_1 \sim \mathcal{N}(0,1)$ es decir, la distribución de $x_1$ es la distribución normal estándar.
$x_{n+1} \sim \mathcal{N}(\frac{x_n}{2}, 1)$ .
¿Cómo puedo determinar la probabilidad de que $\sum_n \frac{x_n}{\sqrt{n}}$ ¿converge?
Parece que se necesitan técnicas de la teoría de las cadenas de Markov y no estoy muy familiarizado con ellas. ¿Hay alguna sugerencia sobre cómo resolver este problema (o cómo empezar a pensar en él)?
Gracias.
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Puedes utilizar la ley de las expectativas iteradas para calcular $E[X_n]$ y $E[X_n^2]$ recursivamente (de hecho, utilizando la propiedad de Markov y asumiendo la independencia del pasado). También se puede obtener $E[X_nX_m]$ . Así que puedes calcular la varianza de tu suma.
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Gracias por su comentario. Perdona mi ignorancia pero ¿cómo conocer la varianza de la suma da la probabilidad de convergencia de la suma? Deben estar relacionados pero de momento no lo veo.
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Lo siento, llego un poco tarde al hilo. El problema es muy interesante. He repasado el comentario pero no veo por qué $X_i$ y $Y_j$ son independientes ( $X_i$ y $Y_i$ son, por supuesto, independientes). En realidad, no creo que sea correcto, $X_i$ sólo es independiente de $Y_i$ y siempre está correlacionado con $Y_j$ para $j>i$ .