Efecto de las operaciones aritméticas en los valores propios de una matriz

Question

Digamos que tengo una matriz $X$ y otra matriz diagonal $D$ . Supongamos que creo una nueva matriz $\bar{X} = D-X$ y puedo estimar los valores propios de esta nueva matriz. ¿Qué información me daría sobre los valores propios de la matriz original $X$ ?

Answer 1

Yo diría que ninguno.

Por ejemplo, dejemos que $D=diag(d_1,\dots,d_n)$ y $X=diag(x_1,\dots,x_n)$ (matrices diagonales) con $a_i$ y $x_i$ diferente de cero. Entonces los valores propios de $C=D-X$ son $c_i=d_i-x_i$ . Ahora, si sólo tiene información sobre el $c_i$ s, está claro que, para un $i$ cada descomposición de $c_i$ en la diferencia de dos números diferentes de cero es una posibilidad para los valores propios de las dos matrices originales. En consecuencia, no se puede decir mucho sobre ellas. Por ejemplo, supongamos que $c_1=1$ entonces $d_1=2^n+1$ y $x_1=-2^n$ son posibles valores propios para cada $n>0$ . Por lo tanto, necesita información adicional sobre $X$ y/o $D$ .