Convergencia uniforme de series de funciones: $\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^{k+1}}{x^2+\sqrt{k}}$

Question

Tengo una pregunta sobre la convergencia uniforme de la siguiente serie :

$$\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^{k+1}}{x^2+\sqrt{k}}$$

Hasta ahora sé que la serie es convergente pero no absolutamente convergente.

Me falta el último paso de las siguientes tareas: $$\forall n\in \mathbb{N}~\setminus \{0\}, ~f_n(x):= \sum^{n}_{k=1}\frac{(-1)^{k+1}}{x^2+\sqrt{k}} \forall x\in \mathbb{R}$$ Demuestra eso:

(i) $$\Vert f_{n+2p}-f_n \Vert_{\infty,\mathbb{R}} \leq \sum^{p}_{k=1}\frac{1}{(n+2k-1)^{3/2}} ~\forall p \in \mathbb{N}\setminus \{0\}$$

(ii) $$\Vert f_{n+2p+1}-f_n \Vert_{\infty,\mathbb{R}} \leq \Vert f_{n+2p}-f_n \Vert_{\infty,\mathbb{R}}+(n+1)^{-1/2}~ \forall p \in \mathbb{N}\setminus \{0\}$$

(iii) Por lo tanto, concluye que la serie $$\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^{k+1}}{x^2+\sqrt{k}}$$ es uniformemente convergente en $\mathbb{R}$ .

Llegué hasta aquí:

(i) $$\Vert f_{n+2p}-f_n \Vert_{\infty,\mathbb{R}}=\sup_{x\in\mathbb{R}}\Vert\sum^{n+2p}_{k=n+1}\frac{(-1)^{k+1}}{x^2+\sqrt{k}}\Vert=\sup_{x\in\mathbb{R}}\sum^{n+2p}_{k=n+1}\frac{1}{x^2+\sqrt{k}}=\sum^{n+2p}_{k=n+1}\frac{1}{\sqrt{k}}$$ ...

Mi idea es cambiar de alguna manera los índices y la verdad es que no sé cómo conseguir el $n$ y el $(3/2)$ poder en la serie. Agradezco cualquier ayuda.

Salud.

Answer 1

Sugerencia: una serie alternada $\sum (-1)^k a_k$ con $(a_k)$ secuencia de números no negativos monótonamente decreciente a $0$ es convergente (criterio de Leibniz). Llamando a $s$ la suma de las series y $s_n := \sum_{k=1}^n (-1)^k a_k$ , se mantiene $$|s - s_n| \leq a_{n+1}, \qquad \forall n\in\mathbb{N}.$$

Answer 2

Escriba $$f_{n+2p}-f_n=\sum_{k=0}^{p-1} (g_{n+2k+1}+g_{n+2k+2}).$$ Entonces $$\begin{align}g_{n+2k+1}(x)+g_{n+2k+2}(x)=\frac{1}{x^2+\sqrt{n+2k+1}}-\frac{1}{x^2+\sqrt{n+2k+2}}\\ =\frac{\sqrt{n+2k+2}-\sqrt{n+2k+1}}{(x^2+\sqrt{n+2k+1})(x^2+\sqrt{n+2k+2})} \\=\frac{2}{(\sqrt{n+2k+2}+\sqrt{n+2k+1})(x^2+\sqrt{n+2k+1})(x^2+\sqrt{n+2k+2})}\end{align}$$ lo que debería darte el poder $\frac32$ .