Caracterización de $I$ -Topologías de la adicción

Question

Dejemos que $I,J$ sean dos ideales de un anillo $A$ .

Podemos definir el $I$ -Topología de la adicción en $A$ declarando $$\{x+ I^n \}_{x \in A, n \ge 0 }$$ sea una base de vecindad abierta para $A$ . (de manera similar para $J$ .

Me parece que: el $I$ -topología de los radicales a y $J$ -Topología de la adicción en $A$ coincidir $\Leftrightarrow Spec A/I$ es igual a establece a $Spec A/J$ .

Puedo mostrar $\Rightarrow$ Esto se debe a que existe $n$ $I^n \subset J, J^n \subset I$ . ¿Se puede deducir lo contrario?

Answer 1

Lo contrario no es cierto en general: tomar $V$ un anillo de valoración no etereo de rango $1$ (si no sabe qué rango $1$ significa, por ejemplo, tomar concretamente $V=\mathcal O_{\mathbb C_p}$ el anillo de enteros en el números complejos p-ádicos ). Cualquier anillo de este tipo sólo tiene dos ideales primos, $0$ y el ideal máximo $\mathfrak m$ . En el ejemplo explícito $V=\mathcal O_{\mathbb C_p}$ podemos dar una prueba rápida: otro ideal primo debe satisfacer $0\subset\mathfrak p\subset\mathfrak m$ (ya que $\mathfrak m$ es el único ideal maximal) con inclusiones estrictas. Tomemos algunos $x\in\mathfrak p\smallsetminus\{0\}$ y algunos $y\in\mathfrak m\smallsetminus\mathfrak p$ . En el primero tenemos $|x|_{\mathbb C_p}\neq0$ y en este último caso tenemos $|y|_{\mathbb C_p}<1$ y luego puedes tomar algunas $n$ para que $|y^n|_{\mathbb C_p}=|y|_{\mathbb C_p}^n<|x|_{\mathbb C_p}$ pero luego $y^n\in(x)\subseteq\mathfrak p$ (porque $y^n=x(\frac{y^n}{x})$ y $|\frac{y^n}x|_{\mathbb C_p}\le 1$ ), y esto es imposible a menos que $y\in\mathfrak p$ sí mismo.

También afirmo que porque $V$ es no etéreo se tiene $\mathfrak m^2=\mathfrak m$ . De nuevo en el caso concreto $V=\mathcal O_{\mathbb C_p}$ se puede ver fácilmente: si $x\in\mathfrak m$ lo que significa, de nuevo, que $|x|_{\mathbb C_p}<1$ , entonces puedes tomar algún elemento $y\in\mathbb C_p$ con $y^2=x$ desde $\mathbb C_p$ es algebraicamente cerrado, pero entonces $|x|_{\mathbb C_p}=|y|_{\mathbb C_p}^2$ y en particular $y\in\mathfrak m$ con $x\in(y^2)\subseteq\mathfrak m^2$ que muestra $\mathfrak m\subseteq\mathfrak m^2$ .

Ahora bien, si se toma cualquier elemento no nulo $\pi\in\mathfrak m$ y que $I=(\pi)$ , entonces se puede ver que $\operatorname{Spec}V/I=\operatorname{Spec}V/\mathfrak m=\{\mathfrak m\}$ pero el $I$ -adic y $\mathfrak m$ -Las topologías de los ádicos no coinciden, ya que $\mathfrak m^2=\mathfrak m$ implica $\mathfrak m^n=\mathfrak m\not\subseteq I$ para todos $n$ .

La afirmación es válida si $I$ y $J$ son generados finitamente, como sugiere Alex en los comentarios. Para ver esto, observe que la hipótesis nos da

$$\sqrt I=\bigcap_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}(A/I)}\mathfrak p=\bigcap_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}(A/J)}\mathfrak p=\sqrt{J}.$$

Así, $I\subseteq\sqrt I=\sqrt J$ y utilizando el hecho de que $I$ está generada finitamente esto implica que $I^n\subseteq J$ para algunos $n$ (específicamente, si $x_1,\dots,x_k$ son generadores de $I$ , elija algunos $N$ para lo cual $x_i^N\in J$ para cada $i$ , entonces toma $n=kN$ ). Del mismo modo, puede encontrar $J^m\subseteq I$ para algunos $m$ .