Problema de concepto simple para el gráfico conectado en el colector

Question

Para el n-manifold topológico, siempre podemos elegir la carta local en cada punto es conectado, es decir $(U,\varphi)$ con conexión $U$ ¿Correcto?

Dado que siempre podemos encontrar la bola de coordenadas paracompacta como base para M,tal que para cada una de dichas bolas de coordenadas $U$ existe un gráfico $(U,\varphi)$ en él. Y la bola de coordenadas está conectada ya que la bola está conectada y $\varphi$ es un homeomorfismo, ¿correcto?

(No estoy seguro de si cometo algún error de concepto)

Basándonos en esto podemos concluir que si M es orientable, entonces en cada punto tiene un gráfico local que es orientable positivo o negativo ¿correcto? Ya que el dominio es conectado.

Answer 1

Utilizando la definición que has dado en los comentarios: $M$ tiene una orientación puntual, que es una orientación para cada espacio tangente $T_pM$ (se trata de una orientación en el sentido de los espacios vectoriales). La orientación puntual es continua, por lo que cada punto $p$ tiene un barrio $U$ y un marco local $(E_i)$ en $U$ tal que en cada punto $(E_i|_p)$ está orientado positivamente (o negativamente, respectivamente).

Una vez que las definiciones han sido eliminadas, pasemos a su pregunta. Digamos que el marco $(E_i)$ se basa en el conjunto abierto conectado $U$ . Dejemos que $S^+$ sea el conjunto de puntos en $U$ para lo cual $(E_i|_p)$ está orientado positivamente. Se trata de un conjunto abierto, ya que el colector está orientado (podemos encontrar una vecindad orientada sobre cada punto). Del mismo modo, dejemos que $S^-$ sean los puntos en $U$ para lo cual $(E_i|_p)$ está orientado negativamente. Esto también está abierto, y $U=S^+\cup S^-$ . Ahora, apela a la conectividad.