Mapeo conforme entre dos dominios (log)

Question

¿Alguien tiene alguna recomendación sobre cómo resolver este problema?

Quiero una conformación de G a H donde $$G = \{ z \in \Bbb C \ | \ |z|<1, |z+i|>\sqrt{2} \}, S = \{ z \in \Bbb C \ | \ \Bbb Re(z) \in (-\pi,\pi) \}.$$

La parte anterior de la pregunta tenía que ver con las ramas del tronco. Cualquier consejo será muy apreciado.

El tipo de respuesta que busco es la siguiente:

Utilice f(z) = $\alpha i \log(z) + \beta \arg(z)$

a continuación, mostrar cómo encontrar $\alpha$ y $\beta$ utilizando los límites.

Gracias.

Answer 1

$G$ está limitada por dos arcos circulares, por lo que puede ser mapeada por una transformación de Möbius a un sector angular $A_\alpha = \{z : 0 < \arg z < \alpha\}$ .

Ese sector angular se puede mapear a un semiplano o a un plano de hendidura mediante una función de potencia y, finalmente, el semiplano o el plano de hendidura se puede mapear a una franja mediante un logaritmo. Pueden ser útiles las escalas y/o rotaciones en algunos pasos.

Answer 2

Considere $$f(z)=-5\pi+8 i \mathop{\rm Log}\left(\frac{z+1}{z-1}\right)$$ El límite de $G$ consta de dos arcos : $\gamma_0$ que tiene la parametrización $\phi(t)=e^{it}$ para $t\in[0,\pi]$ , seguido de $\gamma_1$ que tiene la parametrización $\psi(t)=-(i+(1-i)e^{-i t})$ para $t\in[0,\pi/2]$ .

Ahora, $f(\phi(t))=-\pi+8i\log(\cot(t/2))$ y como $t$ varía de $0$ a $\pi$ el punto $f(\phi(t))$ varía en la línea $x=-\pi$ de $i(+\infty)$ a $i(-\infty)$ .

De la misma manera, $f(\psi(t))=\pi-8i\log\left(\dfrac{\cot(t/2)-1}{\sqrt{2}}\right)$ y como $t$ varía de $0$ a $\pi/2$ el punto $f(\psi(t))$ varía en la línea $x=\pi$ de $i(-\infty)$ a $i(+\infty)$ .

Así, $f(G)=S$ como se desee.