Estaba tratando de encontrar dos subconjuntos:
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El primero es un subconjunto de $\mathbb{R}$ que es isomorfo a $\omega+\omega$ .
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El segundo es también un subconjunto de $\mathbb{R}$ pero isomorfo a $\omega\times\omega$ .
¿Alguna sugerencia?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
zwim
Puntos
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- $\omega+\omega=\omega2\quad$ es equivalente a dos conjuntos infinitos de enteros crecientes puestos uno al lado del otro.
Por ejemplo, tomemos todos los naturales pares seguidos de todos los enteros Impares. $$0,2,4,6,8,\cdots,1,3,5,7,\cdots$$
- $\omega\times\omega=\omega^2\quad$ equivale a $\omega$ conjuntos infinitos de números enteros crecientes puestos uno al lado del otro.
Por ejemplo, toma todos los números primos, para cada número primo considera todas sus potencias, y así sucesivamente. $$2^1,2^2,2^3,2^4,\cdots,3^1,3^2,3^3,3^4,\cdots,5^1,5^2,5^3,5^4,\cdots,\cdots$$
Se trata de órdenes sobre $\mathbb N$ pero aquí la cuestión es diferente, queremos subconjuntos de $\mathbb R$ .
¿Cuál es la diferencia? De hecho, podemos enviar la primera lista a $[0,1[$ y luego la segunda lista a $[1,2[$ y así sucesivamente... De esta manera, cada infinito encontrado en los conjuntos naturales puede ser dimensionado de nuevo en un intervalo de $\mathbb R$ y el orden inducido por $<$ es ahora compatible con los ordinales deseados.
Por ejemplo, se pueden considerar las biyecciones crecientes $f_n(x)=n+\dfrac{x}{1+x}$ de $\mathbb R^+\leftrightarrow[n,n+1[$
Para $\omega+\omega\quad A=f_0(2\mathbb N)\cup f_1(2\mathbb N+1)$ lo haría.
Para $\omega\times\omega\quad B=\bigcup_\limits{p\in P} \{f_p(p^n)\mid n\in\mathbb N\}$ también funcionaría.
Aunque fíjate que podemos encontrar ejemplos mucho más sencillos de subconjuntos de $\mathbb R$ .
En los ejemplos anteriores, teníamos que considerar listas disjuntas de números naturales para que pudieran formar subconjuntos propios de los naturales, pero como los enviamos a diferentes intervalos en $\mathbb R$ También podríamos considerar la misma lista para el problema que nos ocupa.
Por ejemplo, ¿qué pasa con $U_n=n+1-\{\frac 12,\frac 13,\frac 14,\cdots,\frac 1k,\cdots\}\subset[n,n+1[$
Nota: Tengo que tener en cuenta $n+1-\frac 1k$ y no $n+\frac 1k$ para que el orden siga siendo compatible con $<$ (si no, esto sería con $>$ ).
$U_0$ es isomorfo a una lista infinita de naturales con $\omega$ orden.
Considerando ahora las uniones de tales conjuntos, tenemos $U_0\cup U_1$ tiene $\omega2$ orden y $\bigcup\limits_{n\in\mathbb N} U_n$ tiene $w^2$ orden.
Observación: todos estos ejemplos funcionan en $\mathbb Q$ también.
