Es la integral $\int_0^\infty \frac{\mathrm{d} x}{(1+x^2)(1+x^a)}$ igual para todos $a \neq 0$?

Question

Deje que $a$ ser un no-cero de número real.

Es cierto que $\int_0^\infty \frac{\mathrm{d} x}{(1+x^2)(1+x^a)}$ es independiente en $un$ ?

Alguna prueba?

Answer 1

Deje que $\mathcal{I}(a)$ denotar la integral. Entonces $$ \begin{eqnarray} \mathcal{I}(a) &=& \int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{(1+x^2)(1+x^a)} + \int_1^\infty \frac{\mathrm{d} y}{(1+y^2)(1+y^a)} \\ &\stackrel{y=1/x}{=}& \int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{(1+x^2)(1+x^a)} + \int_0^1 \frac{x^a \mathrm{d} x}{(1+x^2)(1+x^a)} \\ &=& \int_0^1 \frac{1+x^a}{(1+x^2)(1+x^a)} \mathrm{d} x = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \mathrm{d} x = \frac{\pi}{4} \end{eqnarray} $$

Por lo tanto $\mathcal{I}(a) = \frac{\pi}{4}$ para todo $a$. No veo una necesidad de requerir $a$ a ser distinto de cero.

Answer 2

Con un cambio de variable $$ \int_0^\infty\frac{\mathrm{d}x}{(1+x^2)(1+x^a)}\overset{x\to1/x}{=}\int_0^\infty\frac{x^a\mathrm{d}x}{(1+x^2)(1+x^a)} $$ Sumando y dividiendo por dos los rendimientos $$ \begin{align} \int_0^\infty\frac{\mathrm{d}x}{(1+x^2)(1+x^a)} &=\frac{1}{2}\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}x}{(1+x^2)}\\ &=\frac{\pi}{4} \end{align} $$

Answer 3

$\displaystyle I=\int_0^\infty \frac{dx}{(1+x^2)(1+x^a)}$

Sustitución:

$\displaystyle x=\tan\theta$

$\displaystyle dx=\s^2\theta d\theta$

$\displaystyle I=\int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{1+\bronceado^a \theta}$

$\displaystyle I=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos^a \theta d\theta}{\sin^a \theta + \cos^a \theta}$

$\displaystyle I=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos^(\pi/2-\theta) d\theta}{\sin^{a}(\pi/2-\theta) + \cos^(\pi/2-\theta)}$

$\displaystyle I=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin^a\theta d\theta}{\sin^a\theta + \cos^a \theta}$

Por lo tanto,

$\displaystyle 2I=\int_0^{\pi/2}d\theta$

$\displaystyle I=\pi/4$