Tengo dos preguntas ligeramente diferentes.
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Dejemos que $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ sea una función continua finita a uno. Para $y\in f(\mathbb{R}^n)$ , dejemos que $n(y)$ sea el número de elementos en $f^{-1}(y)$ . Entonces es $D_0:=\{y\in f(\mathbb{R}^n):2|n(y)\}$ o $D_1:=\{y\in f(\mathbb{R}^n):2\nmid n(y)\}$ ¿medida cero?
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Dejemos que $K\subset\mathbb{R}^n$ sea un conjunto compacto. Sea $f:K\rightarrow\mathbb{R}^n$ sea una función continua finita a uno. Si $2\nmid n(y)$ es válida para cualquier $y$ en el límite de $K$ , entonces es $D_0:=\{y\in f(K):2|n(y)\}$ ¿medida cero?
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P.D. Este problema puede parecer un poco incómodo, porque la Imparidad o uniformidad del número de soluciones no es probablemente una propiedad muy típica. Sin embargo, consideremos cuando $n=1$ y $f$ es un polinomio de coeficiente real (sólo como ejemplo). Para cualquier $y_0\in\mathbb{R}^n$ se puede observar que $\lim_{y\rightarrow y_0^+}n(y)\equiv\lim_{y\rightarrow y_0^-}n(y) (mod 2)$ . Intuitivamente se dice que si se dobla un papel entonces cerca de un lugar de doblado siempre hay un número par de hojas.(Aparentemente cierto para el caso general)
Esto se puede reescribir como "Como $y$ se mueve en $\mathbb{R}$ , las soluciones de $f(x)=y$ se mueven continuamente, y a veces se hace o se borra un número par de soluciones, con una forma de solución múltiple en los puntos de creación/borrado". Si $n$ es impar o incluso puede diferir sólo en los puntos de creación/eliminación, pero se puede demostrar que este conjunto es de medida cero.
Esto es del problema 1, pero el problema 2 plantea una situación básicamente similar. (Porque en el límite de $K$ $f$ debería ser casi siempre localmente uno a uno, aunque no es muy fácil de demostrar)
/Esta es una observación que tuve cuando pensé por primera vez en este problema.
