Si una esfera tiene una densidad de carga de $\rho =\alpha r^2$ Quiero calcular el campo eléctrico fuera de la esfera.
Empezando por la ecuación de Maxwell $\bigtriangledown\cdot E=\frac{\rho }{\epsilon _o}$ y utilizando el teorema de la divergencia obtenemos la ley de Gauss: $\int _V \bigtriangledown\cdot \overset{\rightharpoonup }{E}~d^3x=\int _S \overset{\rightharpoonup }{E}\cdot \hat{n} ~~da=\frac{1}{\epsilon _o}\int _V\rho ( \overset{\rightharpoonup }{x})d^3x$
Que resuelvo como: $E~ 4 \pi r^2=\frac{4 \pi }{\epsilon _o} \int_0^R \alpha ~r^4 \, dr$ = $\frac{4 ~\pi~\alpha~ R^5}{5~\epsilon _o}~\\$
Dando una respuesta final de: $E = \frac{\alpha ~R^5}{5~ r^2 ~\epsilon _o}$
Sin embargo, encontré un problema similar en Internet y tenía la misma respuesta con $\frac{1}{3}$ en lugar de $\frac{1}{5}$ - no integraron sobre la densidad de carga, sino que simplemente lo asumieron: $Q_{\text{enc}}=\rho V=\left(\alpha R^2\right)\frac{4 \pi R^3}{3} $ lo que lleva a la solución $E= \frac{\alpha ~R^5}{3~ r^2 ~\epsilon _o}$ . No estoy seguro ahora de cuál es el correcto físicamente?
En segundo lugar, no sé cómo seguir la dirección del vector de $\overset{\rightharpoonup }{E}$ en la respuesta final. ¿Alguna sugerencia?
