La forma más fácil de resolver $F^{(n)}(y) + F(y) = c$

Question

Supongo que tengo lo siguiente $n$ ecuación diferencial de orden:

$$F^{(n)}(y) + F(y) = c$$

Digamos que tengo $F(0)$ , $F'(0)$ etc., y $c$ . ¿Cuál es la forma más fácil de resolver la ecuación? Realmente me pregunto si hay atajos para resolver ecuaciones diferenciales simples de orden superior. La ecuación anterior es un excelente ejemplo de lo que más voy a trabajar.

Además: Tenga en cuenta que puede asumir que $c$ adquiere un valor ideal si ayuda.

Answer 1

No sé cuál es su $F$ es (lineal o no, etc.) pero, yo procedería a reescribirlo como

$$ \begin{pmatrix} F'(y)\\ F''(y)\\ \vdots\\ F^{(n)}(y)\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 &1& &\ldots &0\\ 0 &0 &1 &\ldots &0\\ \vdots&&&\ddots\\ 0&\ldots&0&0&1\\ -1 &0 &0 &0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} F(y)\\ F'(y)\\ \vdots\\ F^{(n-1)}(y)\\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ c\\ \end{pmatrix} $$ e integrar.

Answer 2

En primer lugar, el homogéneo (es decir, " $=0$ " en lugar de " $=c$ ") ecuación: $$(D^n+I)F(y) = 0$$ Las raíces del polinomio $D^n+1$ son, $e^{\pi i/n}$ , $e^{\pm3\pi i/n}$ , $e^{\pm5\pi i/n},$ $\ldots,$ $e^{\pm\ell\pi i/n}.$ En otras palabras $e^{k\pi i/n}$ para $k=1,\ldots,\ell$ donde $\ell$ es el mayor número impar $\le n/2$ . Así que $$y = \sum_k c_k\exp\left({e^{\pm k\pi i/n}t}\right)$$ son las soluciones, donde los coeficientes $c_k$ son números complejos.

Pero ¿qué pasa con " $=c$ "? Encuentra una solución polinómica. Añádela a la solución de la ecuación homogénea.

A continuación, encuentra los coeficientes que hacen que el conjunto satisfaga las condiciones iniciales.