Coordenadas del punto del círculo inscrito en un cuadrado

Question

Intento encontrar la forma de calcular las coordenadas de un punto anidado en una circunferencia inscrita en un cuadrado. Las variables disponibles, son: 1) longitud del lado del cuadrado = 100; 2) radio del círculo = 50; 3) ángulo (a) = 45 grados, pero puede variar (por ejemplo, 21, 15,3, etc.)

Lo que busco en la situación descrita anteriormente son X2 coordenadas x e y en el cuadrado dado.

Me he quedado sin ideas, así que agradeceré cualquier ayuda.

Answer 1

Espero que la siguiente ilustración sea de ayuda:-

Answer 2

Pon tu cuadrado en un sistema de coordenadas cartesianas y calcula la ecuación del círculo interior en la forma
$(x-x_M)^2+(y-y_M)^2=R^2$
$M(x_M,y_M)$ es el punto medio del círculo interior con las coordenadas $x_M,y_M$

Answer 3

Si elegimos como origen el vértice inferior izquierdo, y llamamos al radio con la letra $\ r$ :

$\ X_{2}(c_{x},c_{y})\iff X_{2}(50+c,r-c)$ , donde $c=r \sin(45°)=\frac{r}{\sqrt2}$

Answer 4

(Esto puede ser usar un mazo para romper una nuez...)

$X_2$ puede interpretarse como una rotación en el sentido de las agujas del reloj de $X_1$ alrededor de $X_0$ con un ángulo de $a$ .

Esto puede expresarse como matriz de rotación :

$$ R(a)= \begin{bmatrix} +\cos a & -\sin a \\ +\sin a & +\cos a \\ \end{bmatrix} $$

Si se multiplica esta matriz por un vector columna, el resultado es una rotación del vector en el sentido de las agujas del reloj (*) por un ángulo $a$ alrededor del origen $(0,0)$ :

$$ \begin{bmatrix} +\cos a & -\sin a \\ +\sin a & +\cos a \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = (x \cos a - y \sin a, x \sin a + y \cos a) $$

Pero no queremos girar alrededor de $(0,0)$ pero $X_0$ por lo que necesitamos una transformación de coordenadas donde $X_0$ corresponde a $(0,0)$ : $$\hat X_1 = X_1-X_0 = (100,50) - (50,50) = (50,0)$$

Ahora giramos $\hat X_1$ utilizando la matriz anterior: $$\begin{align} \hat X_2 & = (\hat X_{1x} \cos 45° - \hat X_{1y} \sin 45°, \hat X_{1x} \sin 45° + \hat X_{1y} \cos 45°) \\ & = (50 \cos 45° - 0 \sin 45°, 50 \sin 45° + 0 \cos 45°) \\ & = (50 \cos 45°, 50 \sin 45°) \\ & \approx (35.36, 35.36) \end{align}$$

E invertir la transformación de coordenadas: $$X_2 = \hat X_2 + X_0 \approx (85.36, 85.36)$$

Por cierto: Usando coordenadas homogéneas Incluso podríamos combinar todo esto en un solo matriz de transformación .

(*) En este ejemplo, es una rotación en el sentido de las agujas del reloj porque el sistema de coordenadas es de izquierdas. En un sistema de coordenadas derecho, sería una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj.

Answer 5

Que la perpendicular de $X_2$ a $X_0X_1$ sea $X$ . Entonces $\cos a=X_0X/50$ y $\sin a=X_2X/50$ . Por la forma en que ha definido las coordenadas, de modo que al desplazarse hacia la derecha aumenta la coordenada horizontal y al desplazarse hacia abajo aumenta la coordenada vertical, las coordenadas de $X_2$ son $$(50+50\cos a,50+50\sin a).$$