Topología "producto" de $\mathbb N\times \mathbb R$

Question

Antecedentes: Considere un conjunto que es un conjunto finito o contable (por ejemplo $\mathbb N$ ) dotado de topología discreta

Pregunta: ¿Qué topología está dotada de $\mathbb N\times \mathbb R$ ? Es $\mathbb N\times\mathbb R$ ¿conectados?

¿Es posible definir una topología razonable tal que $\mathbb N\times\mathbb R$ ¿está conectado?

Motivación: La "conectividad" es una propiedad útil que constituye una condición necesaria para muchos teoremas. Para aplicar esos teoremas en el espacio discreto $\mathbb N$ se puede intentar "conectivizar" el espacio discreto, por ejemplo, "juntándolo" con $\mathbb R$ .

Mi suposición: $\mathbb N\times\mathbb R$ no está conectado por su topología de producto estándar. Consideremos el conjunto $\{1\}\times\mathbb R$ y $(\mathbb N\setminus \{1\})\times\mathbb R$ ambos conjuntos son abiertos por la topología del producto estándar como $\mathbb R$ y $\{1\}$ son ambos conjuntos abiertos.

Con el fin de hacer $\mathbb N\times\mathbb R$ conectados, podemos forzar la definición de que todo el conjunto $\mathbb R$ para no estar ni cerrado ni abierto? Intuitivamente, tomemos un intervalo cerrado $[0,1)$ entonces $\mathbb N\times [0,1)$ ¿sólo se puede conectar?

Además, no estoy seguro de si cosas como $\mathbb N\times \mathbb R$ está conectado. ¡Cualquier comentario será de ayuda!

Answer 1

La forma más fácil de hacer que N×R esté conectado es dar a N la topología indiscreta.

Answer 2

¿Por qué forzar las propiedades en la topología de $\mathbb R$ cuando $\mathbb R$ ¿ya está conectado?

La obstrucción en $\mathbb N\times \mathbb R$ conexión es claramente el hecho de que $\mathbb N$ mismo no está conectado (que es lo que utilizó para demostrar que el producto no está conectado, es decir, siendo $\{1\}$ abrir en $\mathbb N$ , usted concluye que $\{1\}\times\mathbb R$ está abierto en $\mathbb N\times\mathbb R$ ), por lo que diría que la forma más fácil de llegar a una topología conectada en $\mathbb N\times \mathbb R$ requiere una conexión $\mathbb N$ (por ejemplo, dándole la topología trivial, es decir $\{\varnothing,\mathbb N\}$ ).

Si su pregunta requiere que mantengamos la topología discreta en $\mathbb N$ Me temo que cambiar la topología de $\mathbb R$ no será de mucha ayuda. Siempre se puede tomar un conjunto de clopen de $\mathbb N$ (por ejemplo, $\{1\}$ ), y su producto con cualquier otro espacio topológico seguirá siendo un clopen en la topología del producto.