En un circuito RLC en serie en resonancia, ¿cómo pueden las tensiones sobre el condensador y el inductor ser mayores que la tensión de la fuente?

Question

Consideremos un circuito RLC en serie, de la forma

Si la fuente conduce el circuito en CA a la frecuencia de resonancia $\omega =1/\sqrt{LC}$ las tensiones pico a pico en el condensador y el inductor, $$ V_C=\left|\frac{Z_C}{Z_\mathrm{tot}}\right|V_S=\frac{\frac{1}{\omega C}}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}}V_S \quad \text{and}\quad V_L=\left|\frac{Z_L}{Z_\mathrm{tot}}\right|V_S=\frac{\omega L}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}}V_S ,$$ pueden ser mayores que la tensión pico a pico $V_S$ de la fuente.

Las matemáticas pueden decir una cosa, pero esto es hasta terriblemente contraintuitivo. ¿Cómo puede ser?

Answer 1

El circuito RLC dado con una tensión externa $V_S(t)$ se describe por la siguiente ecuación diferencial: $$V_S(t) = LI(t) + RI(t) + \frac{1}{C}Q(t)$$ o utilizando $I(t)=\dot{Q}(t)$ $$V_S(t) = L\ddot{Q}(t) + R\dot{Q}(t) + \frac{1}{C}Q(t).$$

Esto es muy similar al oscilador mecánico

que se describe mediante la ecuación diferencial $$F_S(t) = m\ddot{x}(t) + \gamma\dot{x}(t) + kx(t).$$ donde $F_S(t)$ es una fuerza externa, $-\gamma\dot{x}(t)$ es la fuerza de fricción y $-kx(t)$ es la fuerza del muelle.

Comparando ambas ecuaciones diferenciales obtenemos lo siguiente analogías entre la electricidad y la mecánica:

$$\begin{array}{|cc|cc|} \bf{\text{electric}} & & \bf{\text{mechanical}} & \\ \hline \text{voltage} & V(t) & \text{force} & F(t) \\ \hline \text{current} & I(t) & \text{velocity} & \dot{x}(t) \\ \hline \text{charge} & Q(t) & \text{position} & x(t) \\ \hline \text{inductance} & L & \text{mass} & m \\ \hline \text{resistance} & R & \text{friction constant} & \gamma \\ \hline \text{reciprocal capacitance} & 1/C & \text{spring constant} & k \\ \hline \end{array}$$

Todos tenemos un conocimiento intuitivo sobre el comportamiento de este oscilador mecánico.

Cuando aplicamos una fuerza externa $F_S(t)=\hat{F}_S\sin(\omega t)$ con una frecuencia $\omega$ igual a la frecuencia de resonancia $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$ , entonces la fuerza de inercia $m\ddot{x}(t)$ y la fuerza del muelle $-kx(t)$ se anulan mutuamente. Por lo tanto, la fuerza externa $F_S(t)$ sólo tiene que compensar la pequeña fuerza de fricción $-\gamma\dot{x}(t)$ . Por ello, tanto la fuerza de inercia como la fuerza del muelle pueden tener amplitudes mucho mayores que la pequeña fuerza externa.

Tomando las analogías de la tabla anterior se puede aplicar la misma intuición al circuito eléctrico RLC.

Answer 2

Bueno, aquí tengo en cuenta que tienes una idea elemental de los fasores. En los circuitos de corriente continua con resistencias, se suman las caídas de tensión, que son iguales a la tensión de la fuente. Pero aquí, como estamos tratando con CA, tenemos que considerar la suma vectorial de las tensiones R, L y C. Esto será definitivamente igual a la tensión de la fuente, si se hace correctamente. Te digo lo que tienes que hacer. Calcula las caídas de potencial a lo largo de R, L y C. Deja que $V_1$ , $V_2$ y $V_3$ sea el P.D a través de R, L y C respectivamente. Primero, dibuja el plano XY en un papel. A continuación, dibuja un vector que represente $V_1$ a lo largo del eje X. Como el P.D a través del inductor conduce la corriente en 90 grados, se dibuja $V_2$ a lo largo de eje Y positivo y $V_3$ a lo largo del eje Y negativo (la tensión del condensador va por detrás de la corriente en $\pi/2$ ). A continuación, calcule la resultante de los 3 vectores, cuya magnitud será igual a $V_0$ (tensión de la fuente). También se puede calcular la diferencia de fase en la que la tensión de la fuente va por delante o por detrás de la corriente. No hay ningún problema si $V_1$ o $V_3>V_0$ . Es el resultado de $V_1$ , $V_2$ y $V_3$ que tenemos que considerar (ya que son cantidades alternas que varían sinusoidalmente). Obtendrás el mismo resultado si enmarcas una ecuación diferencial y la resuelves, pero los fasores simplifican en gran medida nuestros cálculos.