Si $\nabla f(x,y,z) $ es siempre paralela a $xi+yj+zk$ , ellos $f$ deben ser valores iguales en los puntos $(0,0,a)$ y $(0,0,-a)$ .

Question

Si $\nabla f(x,y,z) $ es siempre paralela a $xi+yj+zk$ , ellos $f$ deben ser valores iguales en los puntos $(0,0,a)$ y $(0,0,-a)$ .

Estoy teniendo dificultades en el problema. Por favor, ayuda.

Answer 1

Supongamos que nos dan $\nabla f=C\vec r$ , donde $\vec r$ es el vector de posición y $C$ es una constante de proporcionalidad.

Entonces, por integración, encontramos que $f$ viene dada por

$$f(x,y,z)=\frac12 C(x^2+y^2+z^2)+C'$$

donde $C'$ es una constante de integración.

Evaluar $f$ en $(0,0,a)$ y $(0,0,-a)$ revela que

$$f(0,0,a)=\frac12Ca^2+C'$$

y

$$\begin{align} f(0,0,-a)&=\frac12 C(-a)^2+C'\\\\ &=\frac12 Ca^2+C'\\\\ &=f(0,0,a) \end{align}$$

¡como se iba a mostrar!

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EDITAR:

Si $C$ es una función de $x$ , $y$ y $z$ entonces el resultado no se cumple en general. Por ejemplo, supongamos que $\nabla f =z\vec r$ . Entonces, tenemos

$$\begin{align} f(0,0,a)-f(0,0,-a)&=\int_{-a}^a \nabla f(0,0,z)\cdot \hat z\,dz\\\\ &=\int_{-a}^a z^2\,dz\\\\ &=\frac23a^3\\\\ &\ne 0 \end{align}$$

Sin embargo, si $C(x,y,z)$ es una función par de $z$ entonces tenemos

$$\begin{align} f(0,0,a)-f(0,0,-a)&=\int_{-a}^a \nabla f(0,0,z)\cdot \hat z\,dz\\\\ &=\int_{-a}^a zC(0,0,z)\,dz\\\\ &=0 \end{align}$$

y obtenemos el resultado propuesto.

Answer 2

Aquí $C$ puede no ser una constante.

ejemplo- toma $f(x,y,z)=e^{x^2+y^2+z^2}$