Fuerza gravitatoria de un anillo

Question

Dado un anillo con masa $m_1$ , radio $R$ y una masa puntual $m_2$ con la distancia $x$ con respecto al centro del anillo.

¿Cómo puedo calcular la fuerza gravitatoria de este anillo? A primera vista diría que es $F=\frac{m_1m_2}{s^2}G$ ya que cada punto de masa del anillo es $s$ lejos de $m_2$ pero estoy bastante seguro de que esto no es correcto.

Mi siguiente idea es considerar una pequeña pieza de masa $dm_1$ del anillo y luego integrar sobre todo el anillo, pero aquí me cuesta que el anillo no se considere tridimensional.

Debido a la simetría $F_y$ (fuerza vertical) tiene que ser $0$ .

¿Alguien tiene una pista? También agradecería algunos consejos generales sobre cómo resolver este tipo de problemas.

(Sí es una tarea, pero como puedes ver, quiero consejos generales y no toda la solución presentada)

Answer 1

Calcular la fuerza gravitatoria en el eje de un anillo equivale a calcular la fuerza gravitatoria de un par de pequeñas porciones opuestas del anillo en las que la masa total $M$ del anillo se cree que está concentrado. El resultado es una fuerza axial igual a

$$F = G M m\frac{cos(\theta)}{S^2}$$

Dónde $\theta$ es el semiángulo entre las dos masas visto desde la posición de la masa de prueba $m$ . Sustituyendo $cos(\theta)=x/S$ se deduce que

$$F= G M m \frac{x}{S^3}$$

Answer 2

En lugar de integrar la fuerza debida a cada elemento de masa, lo que requiere calcular la componente en la dirección x, se puede calcular el potencial gravitatorio, que es una cantidad escalar. La fuerza es entonces menos el gradiente del potencial. La energía potencial gravitatoria es:

$$V(x) = -\frac{m_1 m_2 G}{\sqrt{x^2 + R^2}}$$

La fuerza en la dirección x viene dada, pues, por

$$F(x) = -\frac{dV}{dx} = -G\frac{m_1 m_2 x}{\left(x^2 + R^2\right)^{3/2}}$$

Answer 3

$F=\frac{Gm_1m_2}{r^2}$ es errónea porque esencialmente estás sumando la magnitud de las fuerzas gravitatorias de cada punto del anillo sin considerar su dirección. Esto es incorrecto ya que la fuerza es un vector.

Para encontrar la fuerza, toma 2 elementos pequeños, diametralmente opuesto en el anillo, cada uno de ellos con una longitud $dl$ y la masa $dm$ . Dibuja la dirección de la fuerza debida a los 2 elementos sobre la masa $m_2$ . Verás que las componentes verticales se anulan. Toma la suma de las componentes horizontales e intégrala sobre todo el anillo. El hecho de que el anillo no sea tridimensional simplifica el problema, ya que no hay que preocuparse por el elemento $dl$ con cualquier grosor.

Answer 4

$$ \vec{F} = - G m \int \frac{\varrho(\vec{r}\ ') \cdot (\vec{r} - \vec{r}\ ')}{|\vec{r} - \vec{r}\ '|^3} d^3r'$$ donde $\varrho$ es la distribución de la masa. La integral se toma sobre todo el volumen (o igualmente: la soporte de $\varrho$ ).

Para las distribuciones de masa, que no tienen volumen 3D, hay que tomar algunas Términos Delta Por ejemplo $$ \varrho(x,y,z) = M\cdot \delta(x) \delta(y) \delta(z)$$ para una masa puntual en el origen.