¿Qué método se puede utilizar para resolver un problema de cuadrado mágico sin necesidad de adivinar?

Question

El problema es el siguiente:

Rellena las casillas vacías de la figura de abajo escribiendo un número entero en cada una de ellas de forma que sumando tres números que estén en la misma fila, columna o diagonal podamos obtener siempre la misma suma. De este modo, ¿cuál es el número que ocupará el cuadrado de color naranja?

La figura se muestra a continuación:

• 17

• 11

• 18

• 10

• 19

He probado diferentes métodos mediante números de plugin al azar, pero en vano. También leí el artículo en Wikipedia sobre el cuadrado mágico y el cálculo de la constante mágica, pero esto no me ha ayudado en absoluto.

Por lo tanto, no he podido llegar a una respuesta a esto, así que esperaba que alguien pudiera decirme si hay un algoritmo o método que esté probado que funciona para resolver estos problemas sin sólo "adivinar".

Por favor, intenta utilizar el mayor número de detalles posible, ya que no soy bueno utilizando la imaginación. No se limite a rellenar el dibujo y decir que ya está. Esto no es lo que estoy buscando.

Entonces, ¿alguien puede ayudarme a obtener una respuesta a este problema de la manera más detallada posible?

Answer 1

Añado esta respuesta tomando prestadas las sugerencias de @saulspatz Por si alguien como yo también tiene problemas con este tipo de preguntas.

Así que voy a tratar de hacer paso a paso solución:

Inicialmente tenemos este diagrama y se puede ver que hay una constante que se suma a un número $x$ , por lo que etiquetamos al cuadrado de color naranja esa variable.

De la primera columna se sabe que la suma resultante es $x+15$

Véase la figura de abajo:

$\hspace{4cm}$

Por lo tanto en la primera fila tenemos que rellenar el espacio en blanco con algo para que al sumar con $x$ también conseguimos que los anteriores $x+15$ .

Como no puedo hacerlo mentalmente, añadiré una variable adicional llamada $a$ como ayuda para hacer este cálculo momentáneo. Pero se puede omitir si se desea.

Así que..:

$$x+3+a=x+15$$ $$a=15-3$$ $$a=12$$

$\hspace{3cm}$

Véanse las figuras 1 y 2.

Para obtener la diagonal ya sabemos que tenemos:

$$12+10=22$$

Para conseguir $x+15$ Utilizaré de nuevo esa variable auxiliar para rellenar el espacio en blanco en términos de $\textrm{x+something}$

$$a+22=x+15$$ $$a=x-7$$

$\hspace{2cm}$

Esto se indica en las figuras 3 y 4.

Continuamos el proceso rellenando los espacios restantes:

Para la segunda fila, tercera columna, espacio en blanco, utilicé de nuevo esa variable auxiliar.

$$x-7+5+a=x+15$$

$$a=17$$

$\hspace{2cm}$

Para ello puedes ver cómo se ha rellenado en la figura 5 y en la figura 6.

Para la tercera fila, segunda columna, el espacio en blanco se rellena como sigue:

$$3+x-7+a=x+15$$

$$a=19$$

$\hspace{2cm}$

Esto se ve en las figuras 7 y 8

Por último, sólo queda rellenar el último espacio en blanco, la tercera fila, la tercera columna:

$$12+17+a=x+15$$

$$a=x+3-17$$

$$a=x-14$$

$\hspace{2cm}$

Y esto se ve en las figuras 9 y 10.

En este punto podemos calcular la suma igualando las diagonales de ambas direcciones, de noroeste a sureste con la diagonal de noreste a suroeste.

Ver figura 11

$\hspace{5cm}$

$$x+x-7+x-14=12+10+x-7$$

$$2x-14=22$$

$$2x=36$$

$$x=18$$

Por lo tanto sustituyendo en la figura llegamos a:

Ya que todas las sumas se comprueban:

$$18+3+12=15+18=33$$

$$5+11+17=16+17=33$$

$$10+19+4=29+4=33$$

$$18+5+10=23+10=33$$

$$3+11+19=14+19=33$$

$$12+17+4=12+21=33$$

Entonces ambas diagonales

$$18+11+4=29+4=33$$

$$12+11+10=12+21=33$$

Así que el número debe ser $18$

$\hspace{4cm}$

Para más detalles, véase la figura 12.

Así que eso es todo. Este proceso como se menciona en los comentarios parece una buena estrategia cuando el problema se plantea de esta manera, espero que pueda ayudar a otros también.

Answer 2

Suponga que pone $x$ en el cuadrado naranja. Entonces, sumando los números de la primera columna se obtiene una constante cuadrada de $x+15$ . Para que la primera fila funcione, el número de la esquina superior derecha debe ser $12.$ Ahora, para calcular la diagonal noreste-suroeste, podemos proceder así. Ya conocemos dos números de la diagonal, $10$ y $12$ . Supongamos que el número central es $y$ para que la suma de los elementos diagonales sea $22+y$ . Esto debe ser igual a la constante cuadrada por lo que $22+y=x+15$ y $y=x-7$ . Es decir, el número central es $x-7$ .

Ahora puedes calcular todos los cuadrados restantes. Al final obtendrás una ecuación que podrás resolver $x$ porque se puede calcular el valor de un cuadrado a partir de la suma de los elementos de la fila o la suma de los elementos de la columna, y estos números deben ser iguales.

¡Adelante!