Dejemos que $R$ sea un anillo y el correspondiente $(\text{Spec } R, \mathcal{O}_{\text{Spec } R})$ sea el esquema afín donde $\mathcal{O}_{\text{Spec } R}$ es la gavilla estructurada de anillos. Por definición, la gavilla estructurada $\mathcal{O}_{\text{Spec} R}$ proporciona un homomorfismo de restricción (de anillo) $$\rho_{V,U} : \mathcal{O}_{\text{Spec } R}(V) \rightarrow \mathcal{O}_{\text{Spec } R}(U)$$ para cada subconjunto abierto $U \subseteq V \subseteq \text{Spec} R$ .
Dejemos que $U \subseteq \text{Spec } R$ sea un subconjunto abierto de este tipo. Tenemos en particular la restricción de la sección global $\rho = \rho_{\text{Spec } R,U}$ (es decir, donde $V = \text{Spec} R$ ): $$\rho : R \rightarrow \mathcal{O}_{\text{Spec } R}(U)$$ (Recordemos que la sección global $\mathcal{O}_{\text{Spec } R}(\text{Spec } R) = R$ .)
Ahora bien, como $\rho$ es un homomorfismo de anillo, se tiene el mapa asociado $$\rho^* : \text{Spec } \mathcal{O}_{\text{Spec } R}(U) \rightarrow \text{Spec } R.$$ Es sugerente y no es difícil ver que la imagen $\rho^*$ es exactamente $U$ . ¿Y la inyectividad?
EDITAR : Este es mi argumento de que la imagen $\rho^*$ es exactamente $U$ . Puede contener algún error en alguna parte. Para simplificar, déjame escribir $X = \text{Spec }R$ y soltar $\text{Spec } R$ en $\mathcal{O}_{\text{Spec } R}$ para que no haya confusión. Recordemos la sheafificación general:
$$\mathcal{O}(U) = \left\{ f : U \rightarrow \bigsqcup_{\mathfrak{p} \in U}\mathcal{O}_\mathfrak{p} \text{ satisfying } (*)\right\}$$ donde (*) dice que
(i) para cualquier $\mathfrak{p} \in U$ , $f(\mathfrak{p}) \in \mathcal{O}_\mathfrak{p}$ y
(ii) para cualquier $\mathfrak{p} \in U$ existe una vecindad abierta básica de $\mathfrak{p}$ , digamos que $X_r = \{\mathfrak{p} \in \text{Spec }R : r \not\in \mathfrak{p}\}$ para algunos $r \in R$ tal que $X_r \subseteq U$ y algunos $s \in R_r$ (la localización de $R$ en el conjunto multiplicativo $\{1, r, r^2, ...\}$ ) tal que $f(\mathfrak{q}) = \text{image of } s \text{ in } \mathcal{O}_{\mathfrak{q}}$ para cualquier $\mathfrak{q} \in X_r$ . Recuerde también que el tallo $\mathcal{O}_\mathfrak{p}$ puede identificarse con el anillo local $R_\mathfrak{p}$ .
$\mathcal{O}(U)$ es un anillo bajo adición y multiplicación puntual. La restricción de la gavilla está dada $\mathcal{O}(U) \rightarrow \mathcal{O}(V)$ por restricción de funciones. El anillo de sección global $\mathcal{O}(X) \cong R$ donde se identifica $r \in R$ con la función $f : \mathfrak{p} \mapsto r/1 \in R_\mathfrak{p}$ . El mapa de restricción $\rho : R \rightarrow \mathcal{O}(U)$ viene dada, por tanto, por $$r \mapsto (\mathfrak{q} \mapsto r/1 \in R_\mathfrak{q})$$
Ahora bien, dada la arbitrariedad $\mathfrak{p} \in U$ , defina $$\mathfrak{P} = \left\{ f \in \mathcal{O}(U) \;|\; f(\mathfrak{p}) \in \mathfrak{p} R_\mathfrak{p} \right\}$$ que es evidentemente un ideal de $\mathcal{O}(U)$ . También es ideal primo ya que si $f_1, f_2 \in \mathcal{O}(U)$ sea tal que $f_1 f_2 \in \mathcal{O}(U)$ es decir $(f_1 f_2)(\mathfrak{p}) \in \mathfrak{p} R_\mathfrak{p}$ entonces $f_1(\mathfrak{p}) f_2(\mathfrak{p}) \in \mathfrak{p} R_\mathfrak{p}$ por definición de la multiplicación en $\mathcal{O}(U)$ . Pero entonces $f_1(\mathfrak{p}) \in \mathfrak{p} R_\mathfrak{p}$ o $f_2(\mathfrak{p}) \in \mathfrak{p} R_\mathfrak{p}$ porque $\mathfrak{p} R_\mathfrak{p}$ es el ideal máximo (por tanto, primo) de $R_\mathfrak{p}$ . Así que, o bien $f_1 \in \mathfrak{P}$ o $f_2 \in \mathfrak{P}$ .
Comprobamos que $\rho^*(\mathfrak{P}) = \mathfrak{p}$ . Recordemos que $\rho^*(\mathfrak{P}) = \rho^{-1}(\mathfrak{P}) = \{r \in R \;|\; \rho(r) \in \mathfrak{P}\}$ . Ahora $\rho(r)$ es la función que envía $\mathfrak{q} \in U$ al elemento $r/1$ en $R_\mathfrak{q}$ . Así que $\rho(r) \in \mathfrak{P}$ sólo cuando $r/1 \in \mathfrak{p} R_\mathfrak{p}$ . Por el hecho básico del álgebra conmutativa, $\mathfrak{p} R_\mathfrak{p} \cap R = \mathfrak{p}$ así que $r \in \mathfrak{p}$ si $r \in \rho^*(\mathfrak{P})$ . Esto demuestra $\rho^*(\mathfrak{P}) \subseteq \mathfrak{p}$ . La inclusión inversa es evidente: para cualquier $r \in \mathfrak{p}$ la función $\mathfrak{q} \mapsto r/1$ está en $\mathfrak{P}$ .
Así que demostramos que la imagen de $\rho^*$ contiene $U$ . No es difícil ver que la imagen está contenida en $U$ .
Nota: : Dada la imagen de $\rho^*$ siendo exactamente $U$ Siento que $\rho^*$ es de hecho un homeomorfismo. Podemos tomar subconjuntos abiertos de $U$ y el argumento da un subconjunto abierto correspondiente en $\mathcal{O}(U)$ .
