Desviación geodésica en el libro de Schutz: ¿una errata?

Question

Estoy estudiando un poco de relatividad general y geometría diferencial en el libro de Schutz "Un primer curso de relatividad general" y no entiendo una ecuación relativa a la "desviación geodésica". En la página 162, escribe la ecuación (6.84)

$\nabla_V \nabla \xi^{\alpha} = \nabla_V ( \nabla_V \xi^{\alpha}) = \frac{d}{d \lambda} (\nabla_V \xi^{\alpha} ) = \Gamma_{\beta 0}^{\alpha} (\nabla_V \xi^{\beta})$

donde $\nabla$ denota la derivada covariante y $\xi$ es el vector de conexión entre las dos geodésicas. Lo que no entiendo es la última igualdad. Schutz escribe "podemos utilizar la Ec. (6.48)", que es la definición de transporte paralelo de un vector $V$ a lo largo de una curva $U$ :

$U^{\beta} V^{\alpha}_{; \beta} = 0 \iff \frac{d}{d \lambda} V = \nabla_{U} V =0$ .

Si tuviera que utilizar esa ecuación, simplemente escribiría

$\nabla_V \nabla \xi^{\alpha} = \nabla_V ( \nabla_V \xi^{\alpha}) = \frac{d}{d \lambda} (\nabla_V \xi^{\alpha} )$ .

¿Cómo podemos recuperar un símbolo de Christoffel de la derivada?

Por otro lado, también estaba pensando en utilizar la definición de derivada de covariable, que se lee como:

$(\nabla V)_{\beta}^{\alpha} = (\nabla_{\beta} V)^{\alpha} = V_{; \beta}^{\alpha} = V_{,\beta}^{\alpha} + V^{\mu} \Gamma_{\mu \beta}^{\alpha}$ .

Entonces, supongo que

$\nabla_V \nabla \xi^{\alpha} = \nabla_V ( \nabla_V \xi^{\alpha}) = \frac{d}{d \lambda} (\nabla_V \xi^{\alpha} ) + \Gamma_{\beta 0}^{\alpha} (\nabla_V \xi^{\beta})$ .

En cualquier caso, estoy bastante confundido. ¿Podría ayudarme, por favor?

Answer 1

Estoy 99% seguro de que se trata de una errata de Schutz, y que la ecuación correcta es su segunda versión anterior: $$\begin{align} \nabla_V \nabla_V \xi^\alpha &= \nabla_V (\nabla_V \xi^\alpha) \\ &= \frac{d}{d\lambda}(\nabla_V \xi^\alpha) + \Gamma^{\alpha} {}_{\beta 0} (\nabla_V \xi^\alpha). \end{align}$$ Obsérvese que en la ecuación no numerada que sigue a la ecuación (6.84), Schutz sustituye en $\Gamma^{\alpha} {}_{\beta 0} = 0$ en el segundo término de esta expresión, y sustituye en $\nabla_V \xi^\alpha = \frac{d}{d\lambda} \xi^\alpha + \Gamma^{\alpha} {}_{\beta 0} \xi^\beta$ en el primer término. La ecuación también aparece de esta forma en la primera edición del texto; el error parece haberse introducido en la segunda edición.

Dicho esto, esto no aparece en el lista de erratas conocidas que se corrigieron en la segunda impresión de 2011. Es posible que desee contactar con el Prof. Schutz y pregúntele si se trata de una errata; los autores de los libros de texto no siempre responden a estos correos electrónicos, pero no está de más.

Answer 2

El símbolo $\nabla_V$ no es la derivada covariante. El símbolo para ello sería $\nabla_\alpha$ . En la ecuación (6.1) de la página 143, Schutz define el símbolo $\nabla_V$ (donde V es el vector tangente a la curva $\phi$ ) actuando sobre $\phi$ como

$$\begin{equation} \nabla_V\phi = V \cdot \tilde{d}\phi = \frac{dx^{\alpha}}{d\lambda} \frac{\partial\phi}{\partial x^{\alpha}} = \frac{d\phi}{d\lambda} \end{equation}$$

Aquí $\phi$ es un escalar, pero en la Ec. (6.84) de la página 162, $\xi$ es un vector. A continuación derivaré la ecuación correcta para $\nabla_V (W)$ para un vector $W = W^{\alpha}\overrightarrow{e}_{\alpha}$ . He buscado esta ecuación en Schutz, pero no la he encontrado. Mi derivación es similar a su derivación de la Ec. (5.50) en la página 128. Empiezo por definir $\tilde{d}W$

$$\begin{equation} \begin{split} (\tilde{d}W)_{\mu} & = \left(\frac{\partial W^{\alpha}}{\partial x^{\mu}}\right)\overrightarrow{e}_{\alpha} + W^{\alpha}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\overrightarrow{e}_{\alpha} \\ & = \left(\frac{\partial W^{\alpha}}{\partial x^{\mu}}\right)\overrightarrow{e}_{\alpha} + W^{\alpha}\Gamma^{\nu}_{\alpha \mu}\overrightarrow{e}_{\nu} \\ & = \left(\frac{\partial W^{\alpha}}{\partial x^{\mu}} + W^{\beta}\Gamma^{\alpha}_{\beta \mu}\right)\overrightarrow{e}_{\alpha} \end{split} \end{equation}$$

donde, en la 2ª línea he utilizado la Ec. (5.44) de la página 127, y en la 3ª línea he reetiquetado algunos dummies. Finalmente, tenemos

$$\begin{equation} \begin{split} (\nabla_V(W))^{\alpha} & = (V \cdot \tilde{d}W)^{\alpha} = V^{\mu} \left(\frac{\partial W^{\alpha}}{\partial x^{\mu}} + W^{\beta}\Gamma^{\alpha}_{\beta \mu}\right) \\ & = \frac{dx^{\mu}}{d\lambda}\left(\frac{\partial W^{\alpha}}{\partial x^{\mu}} + W^{\beta}\Gamma^{\alpha}_{\beta \mu}\right) \\ & = \frac{dW^{\alpha}}{d{\lambda}} + V^{\mu} \Gamma^{\alpha}_{\beta \mu}W^{\beta} \end{split} \end{equation}$$

En nuestro caso, $V = (1, 0, 0, 0)$ y W = $\nabla_V\xi$ , por lo que tenemos

$$\begin{equation} (\nabla_V(\nabla_V\xi))^{\alpha} = \frac{d}{d{\lambda}}(\nabla_V\xi^{\alpha}) + \Gamma^{\alpha}_{\beta 0}(\nabla_V\xi^{\beta}) \end{equation}$$

Prefiero mi colocación de $\alpha$ en el l.h.s. a su porque pienso en $\xi^{\alpha}$ como un escalar para un valor particular de $\alpha$ pero nuestros significados son los mismos.

En la primera línea de la Ec. (6.85) en la página 163, vemos "+ 0" que es el segundo término puesto a cero ya que $\Gamma$ es cero. También vemos mi ecuación para $\nabla_V(W)$ utilizado en $\xi$ sí mismo. Aquí la derivada de $\Gamma$ no es cero.