En un ejercicio me pidieron que demostrara que dado $y=(y_n)\in H^\infty,N\in\mathbb{N},$ y $\epsilon>0$ el conjunto $A=\{x=(x_n)\in H^\infty:|x_k-y_k|<\epsilon,k=1,\dots,N\}$ está abierto en $H^\infty$ .
El conjunto $H^\infty$ llamado cubo de Hilbert es el conjunto de todas las secuencias reales $(x_n)$ para lo cual $|x_n|\leq1$ para $n=1,2,\dots$
En mi intento fijé un $x\in A$ de manera que si existe un $\delta>0$ de modo que para cualquier secuencia $(z_n)\in B_\delta(x)$ , $z$ sería en $A$ . Habría probado la afirmación. Trabajo con la norma $||\cdot||_1$ .
Así que probé lo siguiente: \begin{align} |z_i-y_i|&\leq\sum\limits_{i=1}^N|z_i-y_i|\\ &\leq\sum\limits_{i=1}^N|z_i-x_i|+\sum\limits_{i=1}^N|y_i-x_i| \\ &\leq\delta+N\epsilon \\ \end{align} Esto daría $\delta=\epsilon(1-N)\leq0$ pero necesitamos $\delta>0$ Así que mi límite superior era demasiado grande, ¿alguna idea sobre cómo proceder en este problema?
