Notación y terminología de las funciones, interpretación $f(y)$

Question

Me parece que hay dos interpretaciones diferentes de un símbolo $f(y)$ . Le explicaré lo que quiero decir:

Supongamos que tengo una función $f(x) = x$ . (He tomado el mapa de identidad para tener un ejemplo sencillo). Supongamos también que tengo una dependencia entre $x$ y $y$ que es otra variable. Digamos que $x = 2y$ .

Me parece que puedo interpretar $f$ y en particular el símbolo $f(y)$ de dos maneras diferentes:

1. $f$ es estrictamente un mapa y toma cualquier variable que le demos y la mapea en consecuencia. En este caso $f(y) = y$ como $f$ es el mapa de identidad por lo que sólo mapea $y$ a sí mismo.

2. $f$ es una variable que depende de $x$ , ya que he definido $f(x) = x$ entonces cuando denote $f(y)$ Puedo interpretarlo como la variable $f$ pero ahora expresado en términos de $y$ en lugar de en términos de $x$ Así que en este caso $f(y) = x = 2y$ . En este caso he visto $f$ como ya se ha definido en términos de x y el símbolo $f(y)$ simplemente me da esta variable predefinida $f$ en términos de $y$ .

Mi pregunta es cuál es la interpretación habitual, y si existe una notación conveniente y/o una terminología común que distinga a ambos.

Answer 1

Es mejor considerar la composición de funciones que especifican el rango y dominio. Trabajemos en la configuración fácil:

$$f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R,~~z\mapsto f(z):=z, ~~(*)$$

y

$$y:\mathbb R\rightarrow \mathbb R,~~x\mapsto y(x):=\frac{1}{2}x.$$

Cuando escriba $f(y)=y$ en $1.$ sólo está considerando la función $f$ en cualquier elemento $y$ (llámalo $y$ , $z$ , $x$ etc... es lo mismo: estás usando $(*)$ ).

Cuando escriba $f(y)=x=2y$ en $2.$ En cambio, la notación es confusa. Creo que debería introducir la composición la composición $g:=f\circ y:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ , donde $$g(x)=f(y(x))=y(x)=\frac{1}{2}x.$$

Answer 2

Limitaré esta respuesta al caso en que $f$ es una función real definida en toda la recta real, ( $f\colon \mathbb R\to \mathbb R$ ).

Dado que el dominio de $f$ es $\Bbb R$ Su entrada son números reales. Por lo tanto, el símbolo $f(y)$ es sin sentido si $y$ no es un número real.

En su ejemplo ha puesto $f=\text{id}_\mathbb R$ . Dejemos que $y$ sea un número real. Si se da el caso de que existe $x\in \mathbb R$ tal que $y=2x$ entonces $f(y)=f(2x)=2x$ en virtud de la definición de igualdad y de $f$ .

Si $y$ es una función (para simplificar, dejemos que $\text{dom}(y)=\mathbb R$ y que sólo tome valores reales), entonces, como se dijo antes, $f(y)$ no tiene sentido. Algo que tiene sentido es $f\circ y$ y, dado $x\in \mathbb R$ , $f(y(x))$ también tiene sentido porque $y(x)\in \mathbb R$ .

Respondiendo ahora a su pregunta, la interpretación habitual es que $y$ es una función y que debe mirar $f(y)$ como $f\circ y$ (acompañado de un profundo suspiro), que es la notación conveniente. La terminología común es decir que ' $y$ es una función de $x$ ', lo que no excusa el error de $f(y)$ .