Cómo demostrar que la categoría de $\mathbb{Z}$ -es isomorfo a la cateforia de grupos abelianos. Me parece obvio que un $\mathbb{Z}$ -es un grupo abeliano y a la inversa. Pero no sé cómo escribirlo usando funtores.
Respuesta
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Hay muchos fundamentos diferentes en los que se pueden basar las matemáticas (en particular, la teoría de categorías y el álgebra). Pero normalmente la teoría de categorías clásica (y el álgebra) se basa en la teoría de conjuntos o en una de sus variaciones estándar (por ejemplo, incluyendo clases o universos, etc.). Así que, por defecto, todas las preguntas en MathStackExchange (supongo) son percibidas por la comunidad en el marco de la teoría de conjuntos.
En una forma estándar de la teoría de conjuntos, por una definición estándar, un $\mathbb{Z}$ -Módulo no es un grupo abeliano (y, análogamente, un grupo abeliano no es a $\mathbb{Z}$ -). La razón es que un grupo abeliano es un conjunto con una operación y un $\mathbb{Z}$ -es un conjunto con dos operaciones (una de las cuales es una acción de $\mathbb{Z}$ es decir, una operación externa). Un conjunto con una operación no puede ser un conjunto con dos operaciones, porque la primera es una par pero el segundo es un triplete .
No quiero parecer un excesivo formalista; al contrario, creo que es uno de los efectos más importantes de la teoría de las categorías, que proporciona herramientas convincentes para entender cuando objetos formalmente diferentes son matemáticamente lo mismo. Es el caso cuando sus categorías son... equivalente . El isomorfismo es una propiedad aún más fuerte.
Así que, por definición, para demostrar que los grupos abelianos son matemáticamente lo mismo que $\mathbb{Z}$ -basta con encontrar los dos funtores $\mathcal{F}\colon\mathbf{Ab}\to(\mathbb{Z}-\mathbf{Mod})$ y $\mathcal{G}\colon(\mathbb{Z}-\mathbf{Mod})\to\mathbf{Ab}$ , de tal manera que $\mathcal{G}\circ\mathcal{F}=\text{I}_{\mathbf{Ab}}$ y $\mathcal{F}\circ\mathcal{G}=\text{I}_{\mathbb{Z}-\mathbf{Mod}}$ . Para encontrar tales funtores hay que pensar en cómo construir de forma natural un $\mathbb{Z}$ -por un grupo abeliano y viceversa. Si no estás familiarizado con las nociones categóricas (funtor, composición, funtor de identidad, funtor de olvido), entonces te recomiendo el libro de texto de Mac Lane "Categories for the working mathematician".
