R2 y S3 para los anillos.

Question

Para un noetherian anillo R, Serre del criterio de normalidad de los estados que R es normal si y sólo si R satisface las condiciones de R1 y S2, donde R1 es la regularidad en codimension uno, y S2 es Serre la condición de que todos los primos P de codimension al menos 2 satisface la profundidad R_P \geq 2. Asimismo, hay una condición similar a la de si es o no de R se reduce a: R se reduce el fib R satisface R0 y S1. Siguiendo el modelo, parece que Rn y S(n+1) debe ser equivalente a unos propiedad deseable para los anillos.

Ahora, hay un bonito y canónica manera de tomar cualquier anillo y crear una reducción (o normal) anillo fuera de él, y esto es algo que no deberíamos esperar a extender a dimensiones superiores, ya que sabemos que la resolución de singularidades (a) y (b) no muy canónica. Aparte de eso, seguramente deberíamos ser capaces de decir algo trivial sobre el siguiente caso, es decir, R2 y S3?

Answer 1

La palabra que buscas es "supernormal". Un par de ejemplos de los resultados: Si R es supernormal, a continuación, el mapa en el divisor de los grupos de la clase Cl(R) \Cl(R[[t]]) es un isomorfismo (Danilov, Griffith). Si R es un gong UFD, luego de la finalización \hat{R} es un UFD (Flenner).

No sé de ningún trabajo sobre "supernormalization" -- una búsqueda rápida en MathSciNet no se enciende nada.

Answer 2

Las operaciones de reducción (un anillo R0 y S1) y normalización (S1 y S2) permanecer en la categoría de afín esquemas. Supernormalization no puede: La no-R2 singularidad k[x,y,z]/xz-y^2 no puede ser eliminado por cualquier birational adecuada mapa de un afín dominio. Si se quita "afín", usted probablemente ha devuelto el problema de la resolución de singularidades. No estoy seguro de lo que sucede si se quita birational.

Answer 3

Si usted debilitar birational a sólo adecuado y de forma genérica finito ("alteraciones"), entonces usted puede hacer esto gracias a de Jong de teoremas. De hecho, él permite construir de forma genérica etale alteraciones. También, si usted acaba de tratar de hacer las cosas Cohen-Macaulay (S_k para todos los k) sin olvidarnos de la regularidad, entonces no es un teorema de Kawasaki que básicamente le dice todo lo que admite una adecuada birational mapa de algo Cohen-Macaulay. Parece difícil hacer mejor: las 3 dimensiones normales no CM la singularidad característica 0 no admite un número finito de mapa de algo CM (el local cohomology de la singularidad es un sumando de la cubierta de la normal para el anillo de char en 0).