Así que estoy tratando de demostrar un problema de tarea, y como lema me gustaría que lo siguiente fuera cierto, aunque no estoy seguro de que lo sea:
Si $f$ continua y $\mu(f(A)) = c >0$ entonces para todos los continuos y $\|g-f\|< \epsilon$ entonces $|\mu(g(A)) - c|<\epsilon$ .
Si es necesario, podemos tomar $A$ compacto (lo es, en mi problema). Además, la restricción final no es necesaria para mi problema. Si $\mu(f(A))>0$ entonces me gustaría ser capaz de mostrar que en alguna bola alrededor de $f$ (en la norma de la función estándar), $\mu(g(A))>0$ . Esto sería suficiente para mis propósitos.
Aquí tomamos $\mu$ sea la medida de Lebesgue y las funciones sean mapeos continuos de $[0,1]$ en $[0,1]$ .
Intenté algo, pero terminó siendo una prueba falsa. Utilizaba la compacidad para extraer un número finito de intervalos que cubrieran $f(A)$ y $g(A)$ pero no pude enviar las diferencias entre sus medidas a cero de manera uniforme.
