Mi opinión: dejar que $f:X\to Y$ sea un monomorfismo regular para $g,h: Y\to Z$ : por supuesto, $g\circ f=h\circ f$ y para cualquier otro $x,y:A \to Y$ tal que $g(x)=h(y)$ existe una función única de $A\to X$ llámalo $u_x$ y $u_y$ para cada $x,y$ . (Sabemos que son una misma cosa pero eso no es necesario en este momento. Creo que no) Por lo tanto, $g(f(u_x))=h(f(u_y))$ sabemos que $f(u_x)=f(u_y)=x=y$ por lo tanto, $(gf)u_x=(hf)u_x$ . Por lo tanto, $gf=hf=I_y$ . (creo que esto está mal. $gf$ no puede ser una función de $Y \to Y$ ) Parece que todo lo que tengo hasta ahora está mal. ( Esto está mal )
¿Alguna idea sobre cómo probarlo?
No he demostrado la subjetividad, ni la inyectividad. Estoy tratando de construir La Teoría Elemental de la Categoría de Conjuntos desde cero.
Antes de que me preguntes más cosas como: por qué "conjuntos" por qué "funciones". Está en el libro. No se me ocurrió la pregunta ni el enunciado. Tengo 4 axiomas y 10 definiciones (hasta ahora) y esto resulta ser un ejercicio siguiendo el hecho de que todo igualador es mónico. Eso es prácticamente todo lo que tengo. Tengo la inyectividad, pero no la subjetividad (está "por demostrar", como dice el autor).
Estoy trabajando, como parece por la insistencia absolutamente repitente del autor, en la categoría de conjuntos; sin embargo, no todo lo teórico de conjuntos es factible hasta ahora (como 1-1 y onto $\iff$ surjective).
