¿Es posible representar el número natural "1" como la suma de series p de esta manera?

Question

Mi argumento: $$1=(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{3})^2+\cdots+(\frac{1}{2})^3+(\frac{1}{3})^3+\cdots=\sum_{k=2}^\infty (\frac{1}{k})^2+\sum_{k=2}^\infty (\frac{1}{k})^3+\cdots .$$

Explicación) Primero, para cualquier número natural $n\geq2$ se cumple lo siguiente: $$\sum_{k=1}^\infty (\frac{1}{n})^k=(\frac{1}{n})+(\frac{1}{n})^2+(\frac{1}{n})^3+\cdots= \frac{\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n}}=\frac{1}{n-1}.$$ (la serie geométrica infinita).

Así, obtenemos $$1=(\frac{1}{2})+(\frac{1}{2})^2+\cdots=\sum_{k=1}^\infty (\frac{1}{2})^k,$$ $$\frac{1}{2}=(\frac{1}{3})+(\frac{1}{3})^2+\cdots=\sum_{k=1}^\infty (\frac{1}{3})^k,$$ $$\frac{1}{3}=(\frac{1}{4})+(\frac{1}{4})^2+\cdots=\sum_{k=1}^\infty (\frac{1}{4})^k,$$ y así sucesivamente.

De las igualdades anteriores, $$1=(\frac{1}{2})+(\frac{1}{2})^2+\cdots$$ $$=((\frac{1}{3})+(\frac{1}{3})^2+\cdots)+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^3+\cdots$$ $$=((\frac{1}{4})+(\frac{1}{4})^2+\cdots)+(\frac{1}{3})^2+(\frac{1}{3})^3+\cdots+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^3+\cdots$$ $$=\cdots .$$ Si $p\ge2$ , entonces la serie p converge absolutamente. Por lo tanto, podemos cambiar el orden de los términos en la serie de la siguiente manera: $$1=(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{3})^2+(\frac{1}{4})^2+\cdots$$ $$+(\frac{1}{2})^3+(\frac{1}{3})^3+(\frac{1}{4})^3+\cdots$$ $$+(\frac{1}{2})^4+(\frac{1}{3})^4+(\frac{1}{4})^4+\cdots$$ $$=\sum_{k=2}^\infty (\frac{1}{k})^2+\sum_{k=2}^\infty (\frac{1}{k})^3+\sum_{k=2}^\infty (\frac{1}{k})^4+\cdots.$$ Así, "1" se convierte en la suma de las series p(exactamente de $k=2$ hasta el infinito).

¿Es correcta esta explicación?

Answer 1

Así que lo que está diciendo es

$1 =\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty} \dfrac1{k^m} $ .

Vamos a comprobarlo.

$\begin{array}\\ \sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty} \dfrac1{k^m} &=\sum_{k=2}^{\infty} \sum_{m=2}^{\infty} \dfrac1{k^m} \qquad\text{(reverse order of summation)}\\ &=\sum_{k=2}^{\infty}\dfrac{1/k^2}{1-1/k} \qquad\text{(just a geometric series)}\\ &=\sum_{k=2}^{\infty}\dfrac{1}{k^2-k} \qquad\text{(multiply num and dec by }k^2)\\ &=\sum_{k=2}^{\infty}\dfrac{1}{k(k-1)} \qquad\text{(rewrite)}\\ &=\sum_{k=2}^{\infty}(\dfrac1{k-1}-\dfrac1{k}) \qquad\text{(now we can telescope)}\\ &=1\\ \end{array} $

Sí.