En el juego del póker, ¿cómo probamos $H_o : \textrm{winrate} > 0$ ? ¿O cómo podemos probar $H_o : \textrm{winrate} = x$ para $x \in \mathbb{R}$ ? La tasa de ganancia podría medirse como el beneficio de la población por mano.
Si pensamos en el gráfico de beneficios del jugador medio como algo parecido a un proceso de Wiener, entonces algo que parece muy bueno estará a menudo dentro del intervalo de varianza en $t$ hecho por $Profit_t \sim N(0,t)$ .
Parte de la siguiente información está en mi libro, "Las matemáticas del Hold'em". Sin embargo, esto está dirigido a los jugadores de póquer, no a los matemáticos.
En primer lugar, permítanme aclarar el contexto.
La gran mayoría de los jugadores no juegan mucho. En un entorno online, depositan algo así como $\$ 20 $ or $\$50$ y jugar un tiempo corto hasta que se acabe, a menudo jugando una mezcla de diferentes juegos, algunos torneos y algunos juegos de anillo. En las partidas en vivo, hay mucha gente que juega sólo un par de tardes. No tienes muchos datos sobre los jugadores individuales así.
Si quieres preguntar cómo les va a los jugadores de póker como grupo, juegan entre ellos para perder el rake de media.
El porcentaje de manos ganadas no es la estadística correcta. Muchos jugadores profesionales en un $6$ -mano de la mesa ganará mucho menos que $1/6$ de las manos. El objetivo no es ganar tantas manos como sea posible, sino obtener beneficios. Un error común de los jugadores ocasionales es jugar demasiadas manos, que es como comprar billetes de lotería. Esto disminuye el porcentaje de manos ganadas por los otros jugadores, pero les hace ganar suficiente dinero extra cuando ganan para compensar el menor porcentaje de ganancias. Por lo tanto, la tasa de ganancias no se refiere al porcentaje de manos ganadas, sino al beneficio por unidad de juego.
El momento habitual en el que tiene sentido preguntar por los porcentajes de victorias es cuando se trata de un jugador serio que ha recopilado una gran cantidad de datos sobre su propio juego (o el de ella, pero es abrumadoramente masculino). Hay programas como HEM y PokerTracker que recogen estos datos automáticamente mientras el jugador juega. También hay sitios web de terceros, como Sharkscope.com, que intentan recopilar datos sobre los jugadores. Algunos de ellos no tienen una cobertura uniforme y pueden estar sesgados, por ejemplo, si veo que Sharkscope se ha saltado uno de mis torneos, puedo pedirles que lo busquen y lo añadan a sus registros, y es más probable que lo haga con los torneos que he ganado que con aquellos en los que quedé eliminado antes.
Juegos de anillo: Las manos no son independientes. Incluso si los jugadores no actúan emocionalmente ante las victorias y pérdidas pasadas, y no aprenden de las manos pasadas, siguen existiendo varios fallos de independencia.
En el Hold'em o en el Omaha, donde hay ciegas en lugar de un bring-in forzado en el stud, su posición avanza hacia las ciegas en cada mano hasta que las paga. En teoría, sólo debería jugar manos que sean rentables fuera de las ciegas, pero sus ganancias fuera de las ciegas se equilibran con las pérdidas por pagarlas. Debería jugar menos manos cuando esté en posiciones tempranas y tenga la desventaja de actuar antes que otros jugadores. Por lo tanto, los jugadores ganan cantidades significativamente diferentes desde distintas posiciones. Un jugador puede tener un promedio de $0.30$ grandes ciegas/manos desde el "botón" o la mejor posición, mientras que ganar sólo $0.05$ grandes persianas/manos de $5$ posiciones fuera del botón, y mientras se pierde $0.40$ ciega grande/mano de la propia ciega grande. Las variantes también son diferentes. Puedes intentar compensar esto de varias maneras. Puedes agrupar las manos en órbitas, puedes separar las manos por posición, o puedes ignorar este efecto. Cada una de ellas tiene sus méritos y desventajas.
La composición de la mesa, e incluso el número de jugadores en la mesa, no se aleatoriza después de cada mano. Un jugador suelto puede tender a transferir dinero de los jugadores de su derecha a los de su izquierda, tanto si es un ganador como un perdedor neto. Si tiene un jugador suelto a su derecha en esta mano, es posible que tenga a ese jugador a su derecha en la siguiente $200$ manos. Algunos jugadores son mucho más fuertes cuando hay algunos asientos libres en la mesa, lo que es habitual. Los jugadores de póquer reconocen que algunas situaciones son especialmente rentables y otras no. Si sólo miras la varianza por mano, subestimarás la varianza total debido a la suerte de encontrar buenas mesas.
En los juegos sin límite, la varianza depende de la profundidad efectiva del stack, y hasta cierto punto en la práctica de la profundidad absoluta del stack. Al contrario que en las películas, sólo puedes perder lo que tienes delante, y sólo si tus oponentes tienen al menos lo mismo. Si acumulas un gran stack, tu varianza por mano aumenta en ciegas cuadradas/mano, aunque se hace menos común perder todo tu stack o doblar en una mano. Incluso con una gran cantidad de datos sobre todas las manos, sigo teniendo malas estimaciones de mi tasa de ganancias y varianza cuando tengo varias veces el buy-in máximo en la mesa, ya que estas manos son menos comunes y la varianza es mayor.
Dicho esto, la gente tiene muchas manos, y utiliza aproximaciones normales ignorando las dificultades. La desviación estándar es estimada por el software de seguimiento, y suele ser de $17$ grandes apuestas ( $34$ ciegas grandes) por $100$ manos para los jugadores serios en juegos de hold'em con límite en línea de corto alcance. Las desviaciones estándar para las partidas de hold'em sin límite son más sensibles al estilo de juego y al tamaño de las entradas mínimas y máximas permitidas, pero un valor de $90$ grandes persianas por $100$ manos puede ser típico de algunos jugadores que compran por $100$ grandes persianas.
Juego del torneo: Hay algunos torneos de una sola mesa con un máximo de $10$ y un premio máximo que es sólo unas pocas veces el buy-in. Hay algunos torneos multimodales que pueden tener miles o decenas de miles de jugadores, con un porcentaje significativo de la bolsa de premios que se otorga a los mejores. $3$ lugares.
Los torneos de una sola mesa (STT) se celebran con más frecuencia, y es mucho más fácil estimar los porcentajes de victorias y la varianza de estos torneos. Para un $50-30-20$ estructura de premios, la desviación estándar por torneo es de aproximadamente $1.5$ para un jugador serio. Esto no es particularmente sensible al estilo de juego o a la tasa de ganancias. Algunos jugadores de STT completan más de $20$ torneos por hora, por lo que hay muchos datos sobre algunos jugadores, los suficientes como para que algunos jugadores conozcan su rendimiento de la inversión (ROI) con uno o dos porcentajes. Las aproximaciones normales parecen adecuadas, y todo el mundo las utiliza.
Una parte importante de la suerte en los torneos sin límite se produce después de que los jugadores entren, cuando todas las manos se exponen y se reparten las cartas comunitarias restantes para determinar el ganador. Los programas de seguimiento personal utilizan la reducción de la varianza en estas manos en los torneos de una sola mesa. Utilizan modelos de equidad de torneo como el ICM para hacer una estimación no sesgada de la suerte que restan de los resultados del jugador. Esto reduce aproximadamente la mitad de la varianza, y quizás $70\%$ de la variación de los "superturbos". En lugar de exigir unos $1000$ torneos para conseguir un $95\%$ intervalo de confianza de $\pm 10\%$ ROI, sólo se necesita $300$ a $500$ STTs.
Los torneos multi-mesa (MTT) son mucho más difíciles de analizar. Tienen un número diferente de participantes y estructuras de premios diferentes entre sí, hay más variaciones en las reglas, como rebuys y add-ons, y hay menos datos. Se sabe que la desviación estándar aumenta con el tamaño del torneo y es mucho más sensible al estilo de juego de cada jugador. Es muy difícil obtener una estimación precisa de los porcentajes de victorias sólo a partir de los resultados, ya que una cuestión importante es cómo se desenvuelve el jugador cerca de la mesa final o en ella, y la inmensa mayoría de los torneos en los que el jugador es eliminado antes de tiempo proporcionan poca información al respecto.
Hay algunos MTT no programados de tamaños fijos que comienzan cuando se llenan. Estos se comportan más como los STT. Por ejemplo, $180$ Los torneos de jugadores suelen celebrarse en un sitio principal. La desviación estándar es de aproximadamente $5$ de compra por torneo para un jugador que termina en todos los puestos con la misma probabilidad, pero algunos jugadores ganadores tienen desviaciones estándar de aproximadamente $6-9$ entradas por torneo.
Los jugadores ganadores de MTT tienen mayores ROIs que los jugadores ganadores de STT, y no necesitan estimarlos con tanta precisión como los jugadores de STT para tomar buenas decisiones sobre los torneos en los que participar. Sin embargo, las dificultades son demasiado grandes para la mayoría de los jugadores. La mayoría de los jugadores serios de MTTs programados no conocen sus ROIs con precisión en absoluto. Hay mucho margen de progreso en la estimación de las tasas de ganancias en los MTT.
Uno de los mayores MTT de cada año es el evento principal de las World Series of Poker. Hay miles de participantes, muchos de los cuales son jugadores ocasionales, por lo que se supone que es un torneo muy rentable para los expertos en MTT (aunque algunos profesionales desconocidos se presentan como novatos, y algunos famosos jugadores ocasionales se presentan como profesionales en la televisión). La desviación estándar podría ser superior a $20$ Los eventos principales de las WSOP sólo han alcanzado este tamaño en la última década. Por lo tanto, nadie tiene suficientes datos para estimar los ROI con mucha precisión en el evento principal de las WSOP.
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