problema de vaciado

Question

Hace poco estuve trabajando en un problema relacionado con el vaciado de un depósito. Hay numerosos ejemplos que realmente resuelven el problema. Sin embargo, el problema con el que estaba trabajando tenía un área de apertura lateral dependiente del tiempo. Cómo se puede modelar un problema de este tipo teniendo en cuenta el área en función del tiempo. Y supongo que la velocidad a lo largo de la apertura lateral también variará a lo largo de toda la longitud del área de apertura. Ej.

Altura inicial del tanque: $H = 50$ m

Área del tanque: $A = 6.5 h^4 - 5.4 h^3 + 1.8 h^2 - 2.6*h + 1.65$ (*1000 m^2)

Altura de la abertura lateral desde el punto inferior del tanque : $b=f(t)=0.6 t^3-1.5 t^2+0.876$ m para $b\leq 1$ y $b=1$ m para el tiempo restante

Ancho de apertura : $2m$

Encontrar el tiempo para vaciar el tanque. Esperando obtener respuestas.

Answer 1

Incluso sin multiplicar por $1000$ , $A(50)$ resulta ser $\approx 40\, km^2$ que es un lago más que un tanque (?!).
Si es así, tardará aproximadamente un mes en bajar el nivel $1\,m$ .

También, $b(t)$ se está convirtiendo en negativo antes de alcanzar la apertura total en $2.5\, s$

Su problema se refiere más a la ingeniería hidráulica que a las matemáticas y debería trasladarlo [a este sitio] ( https://engineering.stackexchange.com/ ).

Sin embargo, todo el problema consiste en aplicar la conservación de la energía y la masa.

En una primera aproximación (caso ideal) se tendrá que $$\eqalign{ & \left\{ \matrix{ \rho \,A(t)\,dh = \rho \,A(t)\,\dot h(t)dt = \rho \,2\,b(t)\,v(t)dt \hfill \cr \rho \,A(t)\,\dot h(t)dt\,h(t) = {1 \over 2}\rho \,2\,b(t)\,v(t)dt\;v(t)^{\,2} \hfill \cr} \right. \cr & \left\{ \matrix{ \,A(t)\,\dot h(t) = \,2\,b(t)\,v(t) \hfill \cr A(t)\,\dot h(t)\,h(t) = \,b(t)\,v(t)\;v(t)^{\,2} \hfill \cr} \right. \cr & \left\{ \matrix{ \,v(t) = \sqrt {2\,\,h(t)} \; \hfill \cr \,\dot h(t) = \,{{2\,b(t)} \over {A(t)}}\sqrt {2\,\,h(t)} \hfill \cr} \right. \cr}$$ donde $\rho$ es la densidad y $v$ la velocidad (media) de salida, y donde se supone que $h$ y por lo tanto $A(h)$ son lo suficientemente altos que es posible suponer que la energía cinética del nivel superior sea prácticamente nula.

Para $h=50$ esto daría $v=10\,m/s$ y un débito de max $20\,m^3/s$ .

Pero en la realidad eso sería un máximo inalcanzable, ya que entran en juego pérdidas que dependen de la geometría de la salida, la rugosidad de sus paredes, el perfil real de la velocidad del agua etc. Los coeficientes de corrección se introducirán en consecuencia, [véase, por ejemplo, este artículo]. ( https://www.engineeringtoolbox.com/sluice-gate-flow-measurement-d_591.html ).