Demostrando que $X$ es un subconjunto cerrado si y sólo si siempre que $B_\epsilon (x) \cap X \neq \emptyset $ por cada $\epsilon >0$ entonces $x \in X$ .

Question

Supongamos que $X$ es un subconjunto de un espacio métrico $M$ . Me gustaría demostrar que $X$ es un subconjunto cerrado de $M$ si y sólo si siempre que $x$ es un punto en $M$ tal que $B_\epsilon (x) \cap X \neq \emptyset $ por cada $\epsilon >0$ entonces $x \in X$ .

Hice una dirección (la más fácil), pero tengo problemas para encontrar una prueba rigurosa para la otra dirección. Cualquier ayuda se agradece.

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Las definiciones que estoy utilizando:

Si cada punto límite de $X$ pertenece a $X$ Yo digo que $X$ es cerrado. También, $X$ es Abrir si y sólo si $X^\mathsf{c}$ está cerrado.

Dejemos que $M$ sea un espacio métrico y $X$ sea un subconjunto de $M$ . Decimos que un punto $x$ en $M$ es un punto límite de $X$ si hay una secuencia $x_n$ tal que $x_n \in X$ para cada número entero positivo $n$ y límite a medida que n va al infinito de $x_n = x$ .

Answer 1

HINT : Construir una secuencia que tienda a $x$ considerando diferentes valores de $\epsilon$ como $\frac{1}{n}$ para todos $n$ y encontrar un punto, digamos $x_n$ , en $B_\epsilon (x) \cap X$ . Y las definiciones de aplicación. Esto funcionará para demostrar ambos lados de la doble implicación.

Answer 2

Intentaré demostrar la implicación inversa. Pero mis conocimientos sobre los espacios métricos no son grandes. Me he limitado principalmente a $\Bbb R^n$ pero estoy bastante seguro de que lo siguiente debería ayudar.

Considere el complemento de $X$ en $M$ , digamos que $C(X)$ . Dejemos que $x \in C(X)$ . Debido a nuestra condición hay un $\epsilon \gt 0$ tal que $B_{\epsilon}(x) \cap X = \emptyset$ . Es decir $B_{\epsilon}(x) \subseteq C(X)$ . Acabamos de demostrar que $C(X)$ es abierto y por lo tanto $X$ está cerrado.