$\DeclareMathOperator{\Supp}{Supp}$ $\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}$ $\DeclareMathOperator{\Ann}{Ann}$
En primer lugar, hay que tener en cuenta que la afirmación de que $\Supp(\frac{m}{s})=\Supp(m)\cap\{\mathfrak{p} \in \Spec(A):\mathfrak{p}\cap S=\emptyset\}$ es falsa en general, lo que hace la prueba un poco más difícil. Para un contraejemplo, tomemos $A$ un dominio integral, $S$ un subconjunto cerrado multiplicativo no trivial y $m = 1$ . Entonces $\frac{1}{1}$ sigue siendo soportado en todas partes, incluyendo los primos que cumplen $S$ . El problema es demostrar que los primos correspondientes a los puntos genéricos de $\Supp(\frac{m}{s})$ no se reúnen $S$ ya que no es cierto que ningún primo de este conjunto no cumpla $S$ . Esta respuesta es larga porque contiene la mayor parte de los pensamientos que tuve al resolver el problema. Es considerablemente más corta si simplemente se escribe el argumento conciso y no toda la motivación incluida aquí.
Para probar la afirmación, entonces:
Pensemos por un momento en lo que $\Supp(m)$ es. Bueno, $\mathfrak{p} \not\in \Supp(m)$ significa que $\exists r \not\in \mathfrak{p}$ tal que $rm = 0$ . En otras palabras, algún zerodivisor de $m$ se encuentra fuera de $\mathfrak{p}$ . Así, $\mathfrak{p} \in \Supp(m)$ equivale a $\mathfrak{p}\supset\Ann_A(m)$ , donde $\Ann_A(m)$ es el conjunto (de hecho, un ideal) de los divisores de cero de $m$ . En otras palabras, $\Supp(m) = V(\Ann_A(m))$ . Entonces, ¿qué es un componente irreducible de este conjunto? Es un subconjunto cerrado máximo de la forma $V(\mathfrak{p})$ para $\mathfrak{p}$ un primo. Esto es lo mismo que un subconjunto cerrado de la forma $V(\mathfrak{p})$ para $\mathfrak{p}$ un primo mínimo que se encuentra sobre $\Ann_A(m)$ .
Comprensión de $a)$ esta caracterización de $\Supp(m)$ y $b)$ esta caracterización de puntos genéricos de subconjuntos cerrados en un esquema afín son, en mi opinión, más importantes que hacer el ejercicio en sí.
Teniendo esto en cuenta, veremos que probar lo siguiente completará el ejercicio:
Los primos mínimos que se encuentran sobre $\Ann_A(\frac{m}{s})$ son precisamente los primos mínimos que se encuentran sobre $\Ann_A(m)$ que no cumplen $S$ .
Lo demostramos en dos partes:
i) Los primos mínimos que se encuentran sobre $\Ann_A(m)$ que no cumplen $S$ son también primos mínimos que se encuentran sobre $\Ann_A(\frac{m}{s})$ .
ii) Cualquier primo mínimo que esté sobre $\Ann_A(\frac{m}{s})$ es un primo mínimo situado sobre $\Ann_A(m)$ que no cumple con $S$ .
Tenga en cuenta que $i)$ y $ii)$ son en realidad más fuertes de lo que se pide, los primos mínimos que yacen sobre los aniquiladores se denominan primos débilmente asociados y pueden definirse sobre esquemas afines que no son de Noethrain y ni nuestra prueba ni la discusión anterior utilizan esa $A$ era noetheriano.
La prueba de $i)$ no es tan difícil, si $\mathfrak{p}$ es cualquier primera mentira sobre $\Ann_A(m)$ que no cumple con $S$ Supongamos que $\frac{m}{s}$ no era compatible con $\mathfrak{p}$ . Entonces existe $t \in S, r \not\in \mathfrak{p}$ tal que $trm = 0$ . En particular, $tr \in \Ann_A(m) \subset \mathfrak{p}$ . Pero entonces $\mathfrak{p}$ es primo, así que como $r \not\in \mathfrak{p}, t \in \mathfrak{p}\cap S$ una contradicción. Por lo tanto, $\mathfrak{p}$ es en apoyo de $\frac{m}{s}$ (es decir, se encuentra sobre $\Ann_A(\frac{m}{s})$ ) y debe ser mínimo entre los primos que lo hacen ya que fue mínimo sobre $\Ann_A(m) \subset \Ann_A(\frac{m}{s})$ .
La prueba de $ii)$ es un poco más complicado, aquí hay una versión ligeramente modificada de una respuesta que di a un pregunta que se inspiró en la respuesta de zcn a la misma pregunta.
Supongamos que $\mathfrak{p}$ es mínimo sobre $\operatorname{Ann}_A(\frac{m}{s})$ . Supongamos ahora que $t \in \mathfrak{p}\cap S$ . Entonces, como $\mathfrak{p}_\mathfrak{p}$ es el único primo mínimo que se encuentra sobre $\operatorname{Ann}_A(\frac{m}{s})_{\mathfrak{p}}$ en $A_{\mathfrak{p}}$ , $t$ es nilpotente en $A_{\mathfrak{p}}/\operatorname{Ann}_A(\frac{m}{s})_{\mathfrak{p}}\cong (A/\operatorname{Ann}_A(\frac{m}{s}))_{\mathfrak{p}}$ es decir, existe algún $x \in A\setminus \mathfrak{p}$ con $t^nx \in \operatorname{Ann}_A(\frac{m}{s})$ . Pero entonces $x \in \operatorname{Ann}_A(\frac{m}{s}) \subset \mathfrak{p}$ una contradicción.
Hay varias maneras de ver eso $x$ aniquila $\frac{m}{s}$ si $t^nx$ lo hace, si no lo ves inmediatamente (¡yo no lo hice!). Una de ellas es escribir a partir de las definiciones lo que significa para un elemento de $A$ para aniquilar un elemento de $S^{-1}M$ y observar que para $a \in A, s \in S$ , $a$ aniquila un elemento si $sa$ o puede escribir simplemente $\frac{m}{s} = \frac{t^nm}{t^ns}$ y luego usar eso $x(\frac{m}{s}) = x\frac{t^nm}{t^ns}= \frac{xt^n}{s}\frac{1}{t^n} = 0$ . El primer método es quizás más esclarecedor, y puede considerarse como una consecuencia del hecho de que $s$ "actúa como una unidad en $M$ ".
