¿Cómo resuelvo una desigualdad de valor absoluto doble?

Question

¿Cómo lo resuelvo?

|x-2| > |x-4|

¿Divido la desigualdad en dos, así?

-(x-2) > x-4

x-2 > -(x-4)

Answer 1

Se le da: $$|x-2|\gt|x-4|$$ Como ambos lados tienen un valor absoluto, podemos elevar al cuadrado ambos lados y eliminar el símbolo del valor absoluto (ya que el cuadrado de cualquier número es siempre no negativo). Así obtenemos: $$(x-2)^2\gt(x-4)^2$$$$ \por lo tanto x^2-4x+4gt x^2-8x+16 $$$$\therefore -4x+4\gt-8x+16$$$$ \por lo tanto 4x\t12 $$$$\therefore x\gt3$$

Answer 2

Recomiendo la idea de Henning Makholm de esbozar las dos funciones.

Pero aparte de eso, también es útil para construir la intuición de que en una dimensión, $|x-a|$ para cualquier $a$ es simplemente la distancia (positiva) que $x$ es de $a$ en la recta numérica. Así, si $|x-2| > |x-4|$ Eso significa simplemente que $x$ está más lejos de $2$ que de $4$ . ¿Para qué valores de $x$ ¿es ese el caso?

Answer 3

Para la aproximación rigurosa no-cuadrada, tenemos

$$\begin{align}x\lt 2&: -x+2\gt -x+4\\ 2\le x\lt 4&: x-2\gt -x+4\\ 4\le x&: x-2\gt x-4\end{align}$$

Vemos inmediatamente que el primer y tercer caso se resuelven: no hay soluciones para $x\lt 2$ y todos $x\ge 4$ son soluciones. Así que el segundo caso se mantiene, y obtenemos $2x\gt 6\to x\gt 3$ . Uniendo todo esto, llegamos a la sencilla solución de $x\gt 3$ .

Answer 4

Con una desigualdad en la que hay 2 ecuaciones de valor absoluto a cada lado de la desigualdad, es decir $|ax+c| > |bx +d|$ .

Todo lo que tienes que hacer es hacer que ambos sean positivos, y luego una desigualdad separada donde 1 valor absoluto es negativo.

Ambos positivos: $$|x-2| > |x-4|$$ $$x-2 > x-4$$ $$0>-2$$ El $x$ se cancelan, por lo que esta ecuación no nos sirve.

Una es negativa:

$$|x-2| > |x-4|$$ $$x-2 > -(x-4)$$ $$x-2 > 4-x$$ $$2x > 6$$ $$\therefore x>3$$

Así que acabas "dividiéndolo" en 2 desigualdades, pero sólo haces que 1 de ellas sea negativa.