¿Cómo resuelvo esta EDO con condición de solución?

Question

Lo he hecho:

$$(2x^2+3x)y''-6(x+1)y'+6y=6 \qquad \text{if}\ y_1\ \text{polynomial}$$

Estaba pensando en el factor integral, pero ¿qué hace $y_1$ ¿se refiere a la condición?

Answer 1

pista

Buscar la solución $y$ como

$$y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$$

introdúzcalo en la EDO, y encuentre la relación recursiva satisfecha por $(a_n)$ .

$$y'(x)=\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}x^n$$

$$y''(x)=\sum_{n=0}^\infty ( n+1)(n+2)a_{n+2}x^n$$

Answer 2

Si $y$ es un polinomio, entonces el lado izquierdo es un polinomio mientras que el lado derecho es una constante, es decir, un polinomio de grado $0$ . Esto sólo puede ocurrir si cada uno de los términos de orden superior se anula en el lado izquierdo. Tomemos un término $y^k$ para $k > 0$ . Sustituyendo en el lado izquierdo, y observando los términos de mayor orden, obtenemos $2k(k-1)-6k+6$ . Como necesitamos que ese término se cancele, necesitamos $k=1$ o $k=3$ . Esto significa que cualquier solución tiene como máximo un grado $3$ .

Por lo tanto, elija $$y = ax^3+bx^2+cx+d \\ y' = 3ax^2+2bx+c \\ y'' = 6ax+2b$$

Sustituyendo esto en la ecuación se obtiene $$ -2 b x^2 - 6 b x + 6(d-c) = 6$$

Como no hay $x^2$ o $x$ término de la derecha, necesitamos $b = 0$ . Entonces, eso da $d = c+1$ , mientras que $a$ y $c$ son libres. Por lo tanto, la solución es $$y = ax^3+cx+(c+1)$$

para cualquier $a,c\in\Bbb{R}$