¿Puede una función unimodal tener un subrango de valores horizontales en y?

Question

Ahora estoy tratando de averiguar cómo funciona el método de búsqueda de la sección áurea, una de las condiciones para utilizar este método es que la función sobre la que se trabaja debe ser "uni-modal" y trabajamos en un rango definido (dejemos que el rango de 'x' sea [a0,b0]), de manera que si tienes dos valores de x en el rango puedes obtener sus correspondientes valores de y e iniciar una comparación; "dejemos que el primer punto sea x1 y el segundo x2 donde x1 < x2, entonces si y1 < y2 , el valor mínimo de la función f(x) debe estar incluido dentro del rango [a0,x2] . ... y si y1 >= y2 entonces el valor mínimo de la función debe estar incluido dentro del rango [x1,b0]" , ahora puedes ver el signo "=" en (y1 >= y2).

Entonces, mi pregunta aquí es "¿una función unimodal puede tener un sub rango dentro de su rango total donde todos los valores dentro del sub rango son iguales (un rango de valores de la línea recta horizontal f(x)), porque si eso es correcto entonces la condición establecida aquí (y1 >= y2) no es verdadera.

esta es una imagen que puede hacer más comprensibles mis palabras.

gracias de antemano

Answer 1

Usted está tratando de encontrar $\min\limits_x f(x)$ , por lo que se busca un único valor $x_{\min}$ para lo cual $\forall x:f(x)\ge f(x_{\min})$ utilizando el hecho de que $f(x)$ es una función débilmente decreciente por debajo de $x_{\min}$ y una función débilmente creciente por encima de $x_{\min}$

Puede haber varios valores de $y$ para lo cual $f(y)= \min\limits_x f(x)$ en cuyo caso podría haber más de un minimizador.

Es cierto que si $f(a_1) \ge f(b_1)$ entonces es posible que algunos de los minimizadores sean menores que $a_1$ . Pero eso no importa si lo que se busca es un particular minimizador $x_{\min}$ en lugar de todo el minimizadores $\{y: f(y)= \min\limits_x f(x)\}$ porque en esta situación y buscando un minimizador particular tendrías $a_1$ y $b_1$ como minimizadores también y por lo tanto algunos de los minimizadores deben ser mayores o iguales a $a_1$ . Combine esto con cualquier otro caso de $f(a_1) \ge f(b_1)$ y la declaración original es correcta con un pequeño ajuste en el artículo:

Si $f(a_1) \ge f(b_1)$ , entonces un minimizador se encuentra en el rango $[a_1, b_0]$