Para todos los conjuntos $A, B, C$ Si $A \Delta B = A \Delta C$ entonces $B \subseteq C$

Question

Entiendo la razón general de por qué esto es cierto. Sólo tengo problemas para tratar de formular esto en una prueba lógicamente correcta. Mi enfoque fue:

(1) Supongamos que $A \Delta B = A\Delta C $

(2) Que $x$ sea un intermedio tal que $x \subseteq A \Delta B$ y $x \subseteq A \Delta C$ ,

entonces

$x \subseteq A \cup B$ y $x \subseteq A \cup C$

(3) Separar en casos, cuando $x \subseteq A$ o $x \not\subset A$

Y aquí es donde me atasco. No estoy seguro de si separar en casos es el enfoque correcto. Estoy atascado en la vinculación $A \Delta B = A\Delta C $ con el hecho de que si tienen los mismos elementos después de tomar la diferencia simétrica, todos los elementos de B deben estar también en C.

Answer 1

En cambio, es más fácil demostrar el contrapositivo:

Si $B \not\subseteq C$ entonces $A \Delta B \neq A \Delta C$ .

Para ello, supongamos que existe algún $x \in C$ tal que $x \notin B$ . Entonces hay dos casos a considerar:

• Caso 1: Supongamos que $x \in A$ . Entonces $x \in A \Delta B$ pero $x \notin A \Delta C$
• Caso 2: Supongamos que $x \notin A$ . Entonces $x \in A \Delta C$ pero $x \notin A \Delta B$ .

En cualquier caso, concluimos que $A \Delta B \neq A \Delta C$ , según se desee. $~~\blacksquare$

Answer 2

Otra posibilidad es demostrar que $A\triangle(A\triangle B)=B$ . Entonces, obviamente, tenemos $$A\triangle B = A\triangle C \implies B = A\triangle(A\triangle B) = A\triangle(A\triangle C) = C$$ Y por supuesto $B=C \implies B\subseteq C$ .

Si ya has demostrado que la diferencia simétrica es asociativa, entonces la prueba de la primera relación es de una sola línea: $$A\triangle(A\triangle B) = (A\triangle A)\triangle B = \emptyset\triangle B=B$$

Answer 3

A continuación, una demostración directa en estilo de deducción natural (aunque incompleta, ya que he omitido indicar las reglas que he utilizado).

La estrategia es la siguiente (1) asumir como hipótesis la igualdad de A Delta B y de A Delta C (2) asumiendo que x pertenece a B (3) usando v-elim para derivar que x pertenece a C.

- En este caso, utilizo la siguiente definición de X Y :

x X Y iff [ (x X v x Y) & ~ (x X & x Y) ]

- Utilizo en algunos lugares v-Intro y la regla de DeMorgan para ir de ~P a ~ ( P&Q)