El Duende De Juego

Question

Goblin Juego es una de Magic: the Gathering de la tarjeta. El texto completo del hechizo:

Cada jugador se esconde al menos un elemento, entonces todos los jugadores revelan simultáneamente. Cada jugador pierde una vida igual a la cantidad de artículos que él o ella reveló. El jugador, que reveló la menor cantidad de elementos, a continuación, pierde la mitad de su vida, redondeando hacia arriba. Si dos o más jugadores empatan en menor cantidad, cada uno pierde la mitad de su vida, redondeando hacia arriba.

(Las reglas de la tarjeta de permitir que los jugadores simplemente escriba un número en lugar de ocultar los objetos físicos.)

Actualmente estoy construyendo una plataforma construida sobre el plan de fundición Duende Juego, y por lo tanto generalmente será "preparado" para jugar el juego, mientras que mis oponentes pensar en sus pies. Sin embargo, no estoy seguro de lo que la opción ideal es cuando se juega el juego.

El formato de la Magia juego que tiene todos los jugadores a partir de los 40 años de vida, y hay 3 o 4 jugadores en la mesa.

P1: ¿Qué estrategia óptima para recoger mi número puedo utilizar al jugar el Juego Goblin, suponiendo que todos los participantes comienzan a 40 de la vida?

El objetivo, obviamente, es ser el jugador con el mayor total de vidas después de que el Juego es completo.

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La siguiente parte que yo llamo "Nadie gana el Duende Juego!" O, se puede considerar un iterado versión de la anterior.

El objetivo secundario en el mazo que estoy construyendo es no sólo para jugar Duende Juego, pero para copiar un número de veces. 2 o 4 iteraciones del Juego va a ser fácil para mí para llevar a cabo, pero el número de iteraciones es teóricamente ilimitado, dependiendo de los recursos que tengo a mi disposición. (Sin "ir infinito", el límite de iteraciones es de 24.)

Q2: teniendo en cuenta N iteraciones del Duende Juego, suponiendo que todos los participantes están en 40 de la vida antes de que el primer Juego comienza, ¿cuál es la estrategia ideal para la selección de números para cada Juego?

Hay cinco resultados básicos de la iterada Duende Juego desde mi punto de vista, en orden de preferencia:

1. Yo ganar el Juego: todos los opositores llegar a 0 o menos vidas, mientras que yo tengo una vida positiva total
2. Yo terminar el Juego con la mayoría de la vida: a mí mismo y al menos uno de los oponentes tienen una vida positiva total, pero la mía es más alto
3. Termino el Juego, pero no tiene la mayoría de la vida: a mí mismo y al menos un oponente, tiene un sentido positivo de la vida total, pero la mía no es la más alta
4. Todo el mundo pierde el Juego: 0 o menos vidas en la misma iteración como todos mis oponentes restantes
5. Voy a perder el Juego: 0 o menos vidas, mientras que al menos uno de los oponentes tiene una vida positiva total

Tenga en cuenta que si yo, como la persona que controla el Juego, llegar a 0 o menos vidas, el resto de las iteraciones del Juego se cancelan, por lo que cualquier resto de rivales no perder más de la vida. Por lo tanto, la simple producción de un número infinito de iteraciones del Juego no es suficiente para garantizar el resultado #4. Por otro lado, una vez que todos mis oponentes llegar a 0 o menos vidas, cualquier resto de Juegos son también canceló, así que no tiene que preocuparse acerca de golpear #4 cuando ya he conseguido el #1.

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Finalmente, "los Duendes de Trucos en los Juegos". Mi baraja incluye tres cartas que me da una ventaja sobre mis oponentes:

Platino Ángel:

Usted no puede perder el juego y tus oponentes no pueden ganar el juego.

Platino Emperion:

El total de su vida no puede cambiar.

Lich del Espejo:

Si usted pierde el juego, en lugar de barajar tu mano, tu cementerio, y todos los permanentes que usted posee en su biblioteca, luego roba siete cartas y el total de su vida llega a 20.

Con el Ángel, mi vida total puede ser negativo sin mí ser eliminado. Con el Emperion, mi vida total, simplemente se queda donde está, no importa qué número puedo elegir para el Duende de Juego. Con el Espejo, cuando y si me hacen perder debido a la Goblin Juego, mi vida se restablece a los 20, no importa cuán lejos negativo fue en la resolución del Duende Juego, por lo que me dio un poco más iteraciones durante el cual puedo jugar. (Por supuesto, ya que el Espejo es un permanente que tengo, va a ser barajada en mi terraza y no va a salvar de mí por segunda vez).

P3: Dada la presencia de una de las anteriores ventajas, ¿cómo es que mi estrategia para el iterado Duende de cambio de Juego?

Tenga en cuenta que mis oponentes de todo ser plenamente consciente de que me tienen las ventajas, que, naturalmente, podría afectar a su proceso de toma de decisiones. Por supuesto, en el caso de el Ángel y el Emperion, en la medida de como soy consciente de que yo simplemente debe ser considerado como un no-participante en el Juego; yo podía elegir 100 (no hay oponente puede vencer sin perder) y, a continuación, se trata de una lucha entre mis oponentes para ver cual va a ser menor que el otro.

Cuando yo juego esto de verdad, yo, por supuesto, estar jugando en contra de las personas que pueden hacer ilógico o decisiones incorrectas – que no son matemáticos, y por lo general tiene que venir para arriba con una respuesta sin un exceso de tiempo para pensar en ello. Sin embargo, para los propósitos de la respuesta aquí, usted puede asumir ideal de la lógica (o, incluso, la cooperación, ya que son libres de hablar el uno al otro), en la parte de mis oponentes.

Answer 1

Vamos a llamar a $P_1,...,P_n$ a los jugadores, $\alpha_1,...,\alpha_n$ el total de puntos de vida que tienen, $b_1,...,b_n$ la cantidad de puntos de vida que está listo para apostar.

Sin pérdida de generalidad, supongamos $\alpha_1 \leq...\leq\alpha_n$.

EDIT: esto está basado en una rentabilidad que podría ser $-\frac{\alpha_i}{2}$ si $b_i$ es el mínimo, $-b_i$ lo contrario, que no es lo que se pide.

El pago fuera de aquí parece ser $-\frac{-\alpha_i-b_i}{2}$ si es el mínimo o $-b_i$ lo contrario.

El t1/2: me parece que el equilibrio de Nash es la apuesta de un número de puntos de $b_i$ $\frac{\alpha_{i}}{2}$ $\frac{\alpha_{i-1}}{2}$ $\alpha_0=1$ (imaginando que usted puede tener decimales vida por simplicidad).

Es obvio que $P_1$ no puede mejorar su situación a partir de esa estrategia. Si él apuesta de menos, él va a perder de la misma debido a que su apuesta será estrictamente menor, si apuestas más, bueno, él es peor.

Sabiendo esto, $P_2$ le quiere apostar tan poco como sea posible, pero asegurándose de que se esté quedando por delante de $P_1$, por lo que de apuestas:

• al menos $\frac{\alpha_{2-1}}{2}+1$ asegura que él no es el más pequeño (o si lo es, su pérdida será sólo el 50% vs $P1$ estrictamente más de 50%).
• en la mayoría de las $\frac{\alpha_2}{2}$, de lo contrario, él está teniendo un éxito sin razón

Por inducción, todos van a jugar a lo largo de esas líneas, y la apuesta final es $\min(\frac{\alpha_{i-1}}{2}+1,\frac{\alpha_i}{2})$.

Si todo el mundo empieza en el mismo nivel, entonces todos se declara 20 en tu ejemplo, y todo el mundo de la vida se divide por 2 en cada etapa. Cualquier smart culo que juega más va a perder más, y que juega menos no va a cambiar el juego.

Eso es un ejemplo clásico de un equilibrio de Nash donde el equilibrio es llevar a todo el mundo con usted.

También se puede observar que si usted consigue un borde, la gente no puede equipo contra de usted, usted está perfectamente inmune a sus acciones, no hay cooperación posible.

Q3:

• El ángel no cambia nada como tu pay-off es sin cambios desde arriba.

• El Emperion: conratulations, que ganó el juego no importa qué, porque todo el mundo va a perder al menos 1 en cada turno.

• El espejo: no se dará una ventaja en el juego, pero le empujan por encima de todos los demás en la última ronda, haciendo de ganar el torneo.