¿Cuál es la solución explícita de esta EDP?
Antes de escribir la ecuación dejemos $P(t,n)=P(X(t)=n) $ donde P es una función de probabilidad tal que para cada $t$ satisface $\sum_{n=0}^{\infty} P(t,n) =1$ .
X(t) es un proceso estocástico. Para el propósito de esta pregunta no importa lo que $X$ es. Sólo quería decir dónde $P$ viene de
La cuestión principal es la siguiente. Tal vez pueda saltarse las afirmaciones anteriores y empezar por aquí.
Dejemos que $P: [0, \infty) \times \mathbb{N}\rightarrow [0,1]$ sea una función agradable {Derivadas continuas,...} que satisfaga esta ecuación diferencial parcial con condiciones iniciales:
$$\partial_{t} P(t,n)=aP(t,n-1)+b(n)P(t,n) \quad \quad \quad ;n\geq1$$ $$P(t,0)=r_{t}$$ $$ P(0,0)=1$$ y $$ P(0,n)=0 \quad ;n\geq 1$$
Dónde $a$ es una constante y $b(n)$ es una función que depende de $n$ . Puedo darte $ b(n)$ o $r_{t}$ pero pueden ser funciones complicadas, así que creo que es mejor escribirlas de esta forma.
¿Puede alguien encontrar una solución explicada (general) de $P(t,n)$ en términos de $a$ , $b(n)$ , $r_{t}$ ?
