Demuestra un algoritmo para la media logarítmica $\lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty} b_n=\frac{a_0-b_0}{\ln a_0-\ln b_0}$

Question

Toma:

$$a_0=x,~~~~b_0=y$$

$$a_{n+1}=\frac{a_n+\sqrt{a_nb_n}}{2},~~~~b_{n+1}=\frac{b_n+\sqrt{a_nb_n}}{2}$$

Entonces obtenemos como límite la media logarítmica de $x,y$ :

$$\lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty} b_n=\frac{x-y}{\ln x-\ln y}$$

No sé cómo probar esto. Pero sí sé que numéricamente encaja muy bien.

De hecho, la mejor aproximación se obtiene si tomamos la media geométrica de $a_n,b_n$ :

$$x=5,~~~~y=3$$

$$\begin{array}( n & \sqrt{a_nb_n} & \frac{x-y}{\ln x-\ln y} \\ 4 & \color{blue}{3.915}0640985032 & 3.9152303779424 \\ 10 & \color{blue}{3.915230}33734566 & 3.9152303779424 \\ 20 & \color{blue}{3.9152303779424} & 3.9152303779424 \end{array}$$

La tasa de convergencia se puede aproximar por:

$$\frac{a_{n+1}-b_{n+1}}{a_n-b_n}=\frac{1}{2}$$

Esto parece una forma muy sencilla de calcular logaritmos, por ejemplo:

$$x=2,~~~~y=1$$

$$\ln2=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{a_nb_n}}$$

¿Cómo puedo demostrar que el límite de esta secuencia es realmente la media logarítmica?

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Editar

Resulta que este algoritmo se menciona en (al menos) dos artículos de B. C. Carlson ya en 1971:

https://www.jstor.org/stable/2317088

https://www.jstor.org/stable/2317754

Aun así, si alguien puede aportar sus propias pruebas, se lo agradecería.

Answer 1

Tiene varias identidades exactas, como $$a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2\implies a_n-b_n=2^{-n}(a_0-b_0), \\ \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}=\sqrt{\frac{a_n}{b_n}}\implies \frac{a_n}{b_n}=\left(\frac{a_0}{b_0}\right)^{2^{-n}}$$ La primera nos dice que si una de las secuencias tiene un límite la otra tiene el mismo límite. En la combinación $b_n$ se puede eliminar para obtener, mediante el teorema del valor medio, $$a_n=\frac{2^{-n}(a_0-b_0)}{1-\left(\frac{b_0}{a_0}\right)^{2^{-n}}} =\frac{a_0-b_0}{\ln a_0-\ln b_0+O(2^{-n})}$$