¿Podemos recuperar lo siguiente, por ejemplo, a partir del principio de acotación uniforme

Question

Parece que es fácil, aunque no consigo encontrar el truco. Creo que debería utilizar Banach-Steinhaus.

Dado un espacio normado $X$ , espacio de Banach $Y$ y una secuencia de mapas lineales acotados $T_n\colon X\to Y$ teniendo normas uniformemente acotadas, supongamos que $W\subset X$ es un conjunto denso y $(T_n x)_{n=1}^\infty$ converge para cada $x\in W$ . Debe $(T_n x)_{n=1}^\infty$ convergen para cada $x\in X$ ?

Answer 1

¿Lo has resuelto? Aquí tienes una pista.

Dejemos que $y\in X$ , $y\notin W$ . Para cada $\varepsilon >0$ , puede encontrar un $x\in W$ tal que $\lVert x-y\rVert\le \varepsilon$ . Así que por la desigualdad del triángulo $$\lVert T_ny-T_my\rVert\le \lVert T_n x-T_mx\rVert+\lVert T_n(x-y)\rVert+\lVert T_m(x-y)\rVert.$$ La secuencia $(T_nx)$ es Cauchy. Además, tenemos un límite uniforme en la norma del operador $\lVert T_n\rVert$ , digamos que $\lVert T_n\rVert \le M$ para todos $n$ . Insertando esta información en la desigualdad anterior deberías obtener algo significativo.

P.D.: Este tipo de argumentos basados en la desigualdad del triángulo se denominan a veces " $3\varepsilon$ -argumentos", aunque en este caso el nombre $(\varepsilon+\frac{2}{M}\varepsilon)$ -¡El argumento podría ser más apropiado!